Question

tres numeros forman una sucesion geometrica y su suma es 35. si del primer numero se resta 1, del segundo, 2, y del tercero, 8, las diferencias resultantes forman una sucesion aritmetica

Answer 1

Sean:

a1 = Primer Termino

a2 = Segundo Termino

a3 = Tercer Termino

a1 + a2 + a3 = 35 (Ecuacion 1)

Como estan en progresion geometrica tendriamos lo siguiente:

a1 = a1

a2 = a1*r

a3 = a2*r = a1*r²

Reemplazando en la ecuacion 1:

a1 + a1*r + a1*r² = 35 (Ecuacion 2)

Ahora para la sucesion Aritmetica

b1 = a1 - 1

b2 = a2 - 2

b3 = a3 - 8

Pero:

b2 = (a1*r) - 2

b3 = (a1*r²) - 8

Como estan en progresion aritmetica se cumple que:

d = b2 - b1

d = b3 - b2

d = d:

b2 - b1 = b3 - b2

Reemplazando:

[(a1*r) - 2] - [a1 - 1] = [(a1*r²) - 8] - [(a1*r) - 2]

(a1*r) - 2 - a1 + 1 = (a1*r²) - 8 - (a1*r) + 2

-2 + 1 + 8 - 2 = (a1*r²) - (a1*r) - (a1*r) + a1

5 = (a1*r²) - 2(a1*r) + a1 (Ecuacion 3)


a1 + a1*r + a1*r² = 35 (Ecuacion 2)

a1 - 2a1*r + a1*r² = 5 (Ecuacion 3)

Ecuacion 2 - Ecuacion 3

- Ecuacion 3: - (a1 - 2a1*r + a1*r² = 5)

-a1 + 2a1*r - a1*r = -5

  a1 + a1*r + a1*r² = 35

 -a1 + 2a1*r - a1*r = -5
-----------------------------------
         3a1*r            = 30

a1*r = 10

a1 = 10/r

Reemplazamos el valor de a1 = 10/r

a1 - 2a1*r + a1*r² = 5

a1*r² - 2a1*r + a1 = 5

(10/r)r² - 2(10/r)r + 10/r = 5

10r - 20 + 10/r = 5

(10r - 20 + 10/r) = (10r² - 20r + 10)/r = 5

(10r² - 20r + 10) = 5r

10r² - 20r + 10 - 5r = 0

10r² - 25r + 10 = 0 (Ecuacion de segundo grado para r)

Donde: a = 10; b = -25; c = 10

$r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$r=\frac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4(10)(10)}}{2(10)}$

$r=\frac{25\pm \sqrt{625-400}}{20}$

$r=\frac{25\pm \sqrt{225}}{20}$

$r=\frac{25\pm \ 15}{20}$

r1 = [25 + 15]/20 = 40/20

r1 = 2

r2 = [25 - 15]/20 = 10/20

r2 = 1/2

Usamos r = r1 = 2

a1 = 10/r

a1 = 10/2

a1 = 5

a2 = a1*r

a2 = 5*2

a2 = 10

a3 = a1*r²

a3 = 5*(2)²

a3 = 20

Progresion: 5, 10, 20