Question

tres numeros cuya suma es 36 estan en progresion aritmética calcula los números sabiendo que si se les suma 1,4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica​

Answer 1

Los tres números son -3/4, 12 y 99/4

Una progresión aritmética es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante.  

El nesimo termino se obtiene con la ecuación:  

an = a1 + d*(n-1)

Una progresión geométrica es una sucesión que comienza en un número a1 y los siguientes términos se consiguen multiplicando al anterior por una constante llamada razón denotada con la letra r.

El termino nesimo de una progresión geometrica es:

an = a1*rⁿ⁻¹

Si tenemos que los tres números son a1, a1 + d y a1 + 2d, entonces como la suma es 36, tenemos que:

a1 + a1 + d + a1 + 2d = 36

3a1 + 3d = 36

a1 + d = 12 (*)

Si se les suma 1,4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresión geométrica​

1. a1 + 1 = b1

2. a1 + 4 = b1*r

3. a1 + 43 = b1*r²

Restamos la ecuación 2 con la 1 y la 3 con la 2:

3 = b1*r - b1 ⇒  4. 3 = b1*(r - 1)

39 = b1*r² - b1*r ⇒ 39 = b1*r(r - 1) ⇒5. 39/r = b1*(r - 1)

Sustituimos la ecuación 5 en la 3:

3 = 39/r

r = 39/3

r = 13

Sustituimos en las ecuaciones 2 y 3:

4. a1 + 4 = 13b1

5. a1 + 43 = 169b1

Retamos la ecuación 5 con la 4:

39 = 156b1

b1 = 39/156

b1 = 1/4

Sustituimos en la ecuación 1:

a1 + 1 = 1/4

a1 = 1/4 - 4/4

a1 = -3/4

Sustituimos en (*)

- 3/4 + d = 12

d = 12 + 3/4

d = 51/4

Los números son:

a1 = -3/4

a1 + d = -3/4 + 51/4 = 12

a1 + 2d = -3/4 + 102/4 = 99/4

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