Question

Tres aviones mediante señales de radio comprueban que las distancias respectivas entre ellos son 245 metros, 290 metros y 315 metros. Halla los ángulos que cada avión forma con los otros dos.

Answer 1

El avión A forma un ángulo de aproximadamente 71°34'49''con los otros dos. El avión B forma un ángulo de aproximadamente 60°51'51'' con los otros dos. El avión C forma un ángulo de aproximadamente 47°33'19'' con los otros dos.

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso de trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo.

Solución:

Nos piden hallar los ángulos que cada avión forma con los otros dos conociendo las distancias respectivas entre ellos

Por lo tanto hallaremos los valores de cada uno de los tres ángulos del imaginario triángulo donde cada uno de los aviones se ubica en un vértice

Hallando el ángulo α (A) - Posición del Avión A -

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

Entonces

$\boxed { \bold { cos(\alpha) = \frac{ a^{2} - b^{2} - c^{2} } { -2 \ . \ b \ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { cos(\alpha) = \frac{ 315^{2} - 290^{2} - 245^{2} } { -2 \ . \ 290 \ . \ 245 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\alpha) = \frac{ 99225 - 84100 - 60025 } { -142000} }}$

$\boxed { \bold { cos(\alpha) = \frac{ - 44900 } { -142000} }}$

$\boxed { \bold { cos(\alpha) = \frac{ 44900 } { 142000} }}$

$\boxed { \bold { cos(\alpha) =0,3159746657283 }}$

$\boxed { \bold { \alpha = arccos( 0,3159746657283) }}$

$\boxed { \bold { \alpha =71,5803365 }}$

$\boxed { \bold { \alpha \approx 71\°34'49'' }}$

El Avión A forma un ángulo de aproximadamente 71°34'49'' con los aviones B y C

Hallando el ángulo β (B) - Posición del Avión B -

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

Entonces

$\boxed { \bold { cos(\beta) = \frac{ b^{2} - a^{2} - c^{2} } { -2 \ . \ a \ . \ c } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { cos(\beta) = \frac{ 290^{2} - 315^{2} - 245^{2} } { -2 \ . \ 315 \ . \ 245 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ 84100 - 99225 - 60025 } { -154350 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ - 75150 } { -154350 } }}$

$\boxed {\bold { cos(\beta) = \frac{ 75150 } { 154350 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\beta) = 0,4868804664723 }}$

$\boxed { \bold { \beta = arccos ( 0,4868804664723 ) }}$

$\boxed { \bold { \beta = 60,86425091 }}$

$\boxed { \bold { \beta \approx 60\°51'51'' }}$

El Avión B forma un ángulo de aproximadamente 60°51'51'' con los aviones A y C

Hallando el ángulo γ (C) - Posición del Avión C -

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Entonces

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = \frac{ c^{2} - a^{2} - b^{2} } { -2 \ . \ a \ . \ b } }}$

Reemplazamos valores

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = \frac{ 245^{2} - 315^{2} - 290^{2} } { -2 \ . \ 315 \ . \ 290 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = \frac{ 60025 - 99225 - 84100 } { -182700 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = \frac{ - 123300 } { -182700 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = \frac{ 123300 } { 182700 } }}$

$\boxed { \bold { cos(\gamma) = 0,6748768472906 }}$

$\boxed { \bold { \gamma = arccos ( 0,6748768472906) }}$

$\boxed { \bold { \gamma = 47,55541257 }}$

$\boxed { \bold { \gamma \approx 47\°33'19'' }}$

El Avión C forma un ángulo de aproximadamente 47°33'19'' con los aviones A y B