Question

Tres amigos se encuentran por casualidad después de x años desde que salieron de la universidad. Con motivo del reencuentro, deciden emprender un pequeño negocio para la venta de camisetas de su promoción, para lo cual necesitan inicialmente USD 4 368. Marlon, como gestor de la idea, quiere que cada uno aporte con un valor simbólico relativo a sus años de amistad, así que ofrece colaborar con 2^2x + 2 dólares. José colabora con 4^x - 1 dólares y Pedro con 16 ^x-3/2 dólares para completar el dinero que necesitan. Conociendo lo que José debe aportar, ¿cuántos son los años de amistad que tienen?

Answer 1

Expresaremos la suma de dinero para cada amigo igualando al total:

Marlon $ + José $ + Pedro $ =  4368, según el enunciado tendremos:

$2^{2x+2} + 4^{x-1}+16^{ \frac{x-3}{2}} = 4368$, para poder trabajar cómodamente con las expresiones exponenciales necesitamos llevarla a una misma base, la cual será 2.

Es decir: 4 = 2² y 16 = $2^{4}$, multiplicaremos las expresiones exponenciales por las potencias.

$2^{2x+2} + 2^{2x-2}+2^{2x-3} = 4368$

Ahora usando propiedades de potencia:

$2^{2x}x2^{2}+2^{2x}x2^{-2}+2^{2x}x2^{-6}= 4368$, factor común:

$2^{2x}(2^{2}+2^{-2}+2^{-6})= 4368$

$2^{2x}= \frac{4368}{2^{2}+2^{-2}+2^{-6}}$

$2^{2x}= 1024$, aplicamos logaritmo para eliminar el exponente

$2xln(2)= ln(1024)$

$x = \frac{ln(1024)}{2ln(2)}$, entonces:

$x = 5$

Por lo cual los años de amistad son 5 años.