Question

transformada de la place y' + y=e^-t, y(1)=2​

Answer 1

Explicación paso a paso:

que se cumple para n = k : £{f(k) (t)}(s) = sk F(s) − sk−1 f(0) − sk−2 f (0) − . . . − sf(k−2) (0) − f(k−1) (0) Veamos que se cumple para n = k + 1: £{f(k+1) (t)}(s) = £{[f(k) (t)] }(s) n=1 = s£{f(k) (t)}(s) − f(k) (0) n=k = s(sk F(s) − sk−1 f(0) − sk−2 f (0) − . . . − sf(k−2) (0) − f(k−1) (0)) − f(k) (0) = sk+1 F(s) − sk f(0) − sk−1 f (0) − . . . − s2 f(k−2) (0) − sf(k−1) (0) − f(k) (0) 228

15. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE NOTA: para resolver E.D. necesitamos, en la mayor´ıa de ejemplos, los casos n = 1 y n = 2. Para n = 1 £{y (t)}(s) = s Y (s) − y(0) donde Y (s) = £{y(t)}(s) n = 2 £{y (t)}(s) = s2 Y (s) − s y(0) − y (0) Definici´on 6.3 (Producto Convolutivo) . Sean f y g funciones conti- nuas a tramos para t ≥ 0; el producto convolutivo entre las funciones f y g se define as´ı: (f ∗ g)(t) = t 0 f(τ) g(t − τ) dτ NOTA: haciendo el cambio de variable u = t−τ en la definici´on de producto convolutivo se demuestra que: f ∗ g = g ∗ f (o sea que la operaci´on ∗ es conmutativa) Teorema 6.9 (Transformada del producto convolutivo) . Si f y g son funciones continuas a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, entonces £{(f ∗ g)(t)}(s) = £{f(t)}(s) £{g(t)}(s) = F(s) G(s) Demostraci´on: F(s) def. = ∞ 0 e−sτ f(τ) dτ G(s) def. = ∞ 0 e−sβ g(β) dβ F(s) G(s) = ∞ 0 e−sτ f(τ) dτ ∞ 0 e−sβ g(β) dβ = ∞ 0 ∞ 0 e−(τ+β)s f(τ) g(β) dβ dτ = ∞ 0 f(τ) ∞ 0 e−(τ+β)s g(β) dβ dτ (6.1) Sea t = τ + β dejando constante a τ, luego dt = dβ. Ahora, cuando β = 0 ⇒ t = τ y cuando β → ∞ entonces t → ∞ Luego en 6.1 F(s) G(s) = ∞ 0 f(τ) ∞ τ e−ts g(t − τ) dt dτ 229

16. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 0 1 2 3 4 t t τ τ = t Figura 6.4 Y como f y g son continuas a tramos, podemos cambiar el orden de inte- graci´on (ver figura 6.4); F(s) G(s) = ∞ 0 t 0 f(τ) e−ts g(t − τ) dτ dt F(s) G(s) = ∞ 0 e−ts       t 0 f(τ) g(t − τ) dτ (f ∗ g)(t)       dt = ∞ 0 e−ts (f ∗ g)(t) dt def. = £{(f ∗ g)(t)} (s) NOTA: forma rec´ıproca del teorema (f ∗ g)(t) = £−1 {F(s) G(s)} Corolario 6.1 (Transformada de la integral) . Si f es una funci´on continua a tramos para t ≥ 0 y de orden exponencial, entonces: £ t 0 f(t) dt (s) = 1 s F(s) = 1 s £{f(t)}(s) Demostraci´on: tomando g(t) = 1 en el teorema de convoluci´on, tenemos 230

17. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas 6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE £{g(t)}(s) = £{1}(s) = 1 s £{(f ∗ g)} = £ t 0 f(τ) g(t − τ) dτ = £ t 0 f(τ) 1 dτ = £{f(τ)}(s) £{g(τ)}(s) = F(s)£{1}(s) £ t 0 f(τ) dτ = F(s) 1 s Teorema 6.10 (Generalizaci´on de la transformada de una potencia) . £{tx } = Γ(x+1) sx+1 , para s > 0 y x > −1 Demostraci´on: la funci´on gamma como la definimos en el cap´ıtulo anterior es, Γ(x) = ∞ 0 e−τ τx−1 dτ hagamos τ = st, por tanto dτ = s dt y cuando τ = 0 entonces t = 0 y con τ → ∞ entonces t → ∞, por lo tanto Γ(x) = ∞ 0 e−st (st)x−1 s dt = s ∞ 0 e−st sx−1 tx−1 dt = sx ∞ 0 e−st tx−1 = sx £{tx−1 } por lo tanto £{tx−1 } = Γ(x) sx con x > 0 y s > 0 luego (cambiando x por x + 1) £{tx } = Γ(x + 1) sx+1 con x + 1 > 0 (o sea x > −1) y s > 0 Definici´on 6.4 Una funci´on f(t) se dice que es peri´odica con per´ıodo T (T > 0) si para todo t se cumple f(t + T) = f(t). El siguiente teorema se deja como ejercicio. 231

18. UniversidaddeAntioquia,Depto.deMatematicas CAP´ITULO 6. TRANSFORMADA DE LAPLACE