Question

Traducción: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones de segundo grado.
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Answer 1

Respuesta:

a) x = 4 , y = 5  

             v

   x = -5 , y = -4

b) x = 12 , y = 2  

            v  

    x = 3 , y = 8

c) x = -5 , y = 4  

           v  

  x = 4 , y = -5

d) x = -5 , y = 3  

          v  

    x = 13 , y = -9

e) x = -5 , y = 3  

          v  

   x = -1 , y = 1

Explicación paso a paso:

a)

Método de Sustitución:

$1. x-y=-1\\2.x*y=20\\\\1.x=-1+y\\2.x*y=20$

Se reemplaza el x:

$(-1+y)y=20\\-y+y^{2}=20\\ y^{2}-y-20=0$

Fórmula general:

$\frac{-(-1)+-\sqrt{(-1)^2-4*1*-20} }{2*1} = \frac{1+-\sqrt{1+80} }{2} = \frac{1+-\sqrt{81} }{2}\\ \frac{1+-9}{2}$

Entonces y puede ser igual a:

y = 5 (1+9/2->10/2->5) v y = -4 (1-9/2->-8/2->-4)

Reemplazamos cualquiera de las ecuaciones por uno de los valores de y:

$1. x-5=-1\\2.x*5=20$

En este caso x = 4

Ahora lo reemplazamos por el otro posible valor de y:

$1. x-(-4)=-1\\2.x*-4=20$

En este caso x=-5

Entonces los posibles resultados para a) serían

x = 4 , y = 5  v  x = -5 , y = -4

b)

Método de Sustitución:

$1. 2x+3y=30\\2.x*y=24\\\\1.x=\frac{30-3y}{2} \\2.x*y=24$

Se reemplaza el x:

$(\frac{30-3y}{2} )y=24\\\frac{30y-3y^{2}}{2} =24\\-3y^{2}+30y =48\\-3y^{2}+30y-48 =0\\-y^{2}+10y-16 =0$

En este caso al final se dividió entre tres toda la ecuación para simplificarla.

Fórmula general:

$\frac{-(10)+-\sqrt{(10)^2-4*-1*-16} }{2*-1} = \frac{-10+-\sqrt{100-64} }{-2} = \frac{-10+-\sqrt{36} }{-2}\\ \frac{-10+-6}{-2}$

Entonces y puede ser igual a:

y =  2 (-10+6/-2->-4/-2->2) v y = 8 (-10-6/-2->-16/-2->8)

Reemplazamos cualquiera de las ecuaciones por uno de los valores de y:

$1. 2x+3(2)=30\\2.x*2=24$

En este caso x = 12

Ahora lo reemplazamos por el otro posible valor de y:

$1. 2x+3(8)=30\\2.x*8=24$

En este caso x= 3

Entonces los posibles resultados para a) serían

x = 12 , y = 2  v  x = 3 , y = 8

c)

Método de Sustitución:

$1. x^{2}+y^{2} =41\\2.x+y=-1\\\\1. x^{2}+y^{2} =41\\2.x=-1-y$

Se reemplaza el x:

$(-1-y)^2+y^2=41$

Ahora tenemos que sacar el cuadrado del binomio:

$(-1-y)^2=(-1)^2 - 2(-1)y + y^2 = 1 + 2y + y^2$

Lo incluimos en la ecuación:

$1+2y+y^2+y^2=41\\2y^2+2y+1=41\\2y^2+2y-40=0\\y^2+y-20=0$

Como en la anterior, simplificamos la ecuación, pero dividiéndola entre dos esta vez.

Fórmula general:

$\frac{-(1)+-\sqrt{(1)^2-4*1*-20} }{2*1} = \frac{-1+-\sqrt{1+80} }{2} = \frac{-1+-\sqrt{81} }{2}\\ \frac{-1+-9}{2}$

Entonces y puede ser igual a:

y = 4 (-1+9/2->8/2->4) v y = -5 (-1-9/2->-10/2->-5)

Reemplazamos cualquiera de las ecuaciones por uno de los valores de y:

$1. x^2+4^2=41\\2.x+4=-1$

En este caso x = -5

Ahora lo reemplazamos por el otro posible valor de y:

$1. x^2+(-5)^2=41\\2.x+(-5)=-1$

En este caso x=4

Entonces los posibles resultados para c) serían

x = -5 , y = 4  v  x = 4 , y = -5

d)

Método de Sustitución:

$1. x^{2}-2y^{2} =7\\2. 2x+3y=-1\\\\1. x^{2}-y^{2} =7\\2.x=\frac{-1-3y}{2}$

Se reemplaza el x:

$(\frac{-1-3y}{2} )^2-2y^2=7\\\frac{(-1-3y)^2}{2^2} -2y^2=7$

Ahora tenemos que sacar el cuadrado del binomio:

$(-1-3y)^2=(-1)^2 - 2(-1)3y + (3y)^2 = 1 + 6y + 9y^2$

Lo incluimos en la ecuación:

$\frac{1+6y+9y^2}{4} -2y^2=7\\\frac{1+6y+9y^2-8y^2}{4}=7\\1+6y+9y^2-8y^2=7*4\\\\y^2+6y+1=28\\y^2+6y-27=0$

Fórmula general:

$\frac{-(6)+-\sqrt{(6)^2-4*1*-27} }{2*1} = \frac{-6+-\sqrt{36+108} }{2} = \frac{-6+-\sqrt{144} }{2}\\ \frac{-6+-12}{2}$

Entonces y puede ser igual a:

y = 3 (-6+12/2->6/2->3) v y = -9 (-6-12/2->-18/2->-9)

Reemplazamos cualquiera de las ecuaciones por uno de los valores de y:

$1. x^2-2(3^2)=7\\2.2x+3(3)=-1$

En este caso x = -5

Ahora lo reemplazamos por el otro posible valor de y:

$1. x^2-2((-9)^2)=7\\2.2x+3(-9)=-1$

En este caso x=13

Entonces los posibles resultados para d) serían:

x = -5 , y = 3  v  x = 13 , y = -9

e)

Método de Sustitución:

$1. x^{2}-3y^{2} =-2\\2. x+2y= 1\\\\1. x^{2}-3y^{2} =-2\\2.x=1-2y$

Se reemplaza el x:

$(1-2y)^2-3y^2=-2$

Ahora tenemos que sacar el cuadrado del binomio:

$(1-2y)^2=1^2 - 2(1)2y + (2y)^2 = 1 -4y + 4y^2$

Lo incluimos en la ecuación:

$1-4y+4y^2-3y^2=-2\\y^2-4y+1=-2\\y^2-4y+3=0$

Fórmula general:

$\frac{-(-4)+-\sqrt{(-4)^2-4*1*3} }{2*1} = \frac{4+-\sqrt{16-12} }{2} = \frac{4+-\sqrt{4} }{2}\\ \frac{4+-2}{2}$

Entonces y puede ser igual a:

y = 3 (4+2/2->6/2->3) v y = 1 (4-2/2->2/2->1)

Reemplazamos cualquiera de las ecuaciones por uno de los valores de y:

$1. x^2-3(3^2)=-2\\2.x+2(3)=1$

En este caso x = -5

Ahora lo reemplazamos por el otro posible valor de y:

$1. x^2-3(1^2)=-2\\2.x+2(1)=1$

En este caso x=-1

Entonces los posibles resultados para e) serían:

x = -5 , y = 3  v  x = -1 , y = 1

Espero que esté bien y te sirva.