Question

Tomando el sistema de ecuaciones diferenciales:

$\left \{ {{y'(x)\:+\:2y(x)\:=\:0} \atop {y(0)\:=\:1}} \right.$

∀x ∈ [0; 1] utilizando h = 0,2.

Teniendo en cuenta el texto mencionado anteriormente y los conceptos de los métodos de Runge-Kutta de cuarto orden, analice las siguientes afirmaciones:

I. Una aproximación numérica de la solución del sistema es x = 1.0 con $y \approx 0,128521324$.

II. Una aproximación numérica de la solución del sistema es x = 1.0 con $y \approx 1,347625667$.

III. El método de Runge-Kutta aplicado a este sistema se resuelve en 6 fórmulas iterativas.

IV. El método de Runge-Kutta aplicado a este sistema se resuelve en 10 fórmulas iterativas.

Lo que se dice es correcto, en:

Alternativa 1:
I y III

Alternativa 2:
I y IV.

Alternativa 3:
II y IV.

Alternativa 4:
I, II y IV.

Alternativa 5:
II, III y IV.

Answer 1

El método de Runge-Kutta de 4º  orden consiste en determinar constantes apropiadas de modo que una fórmula como:  

$y_{i+1} = y_i + \dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2+2k_3+k_4)$

coincida con un desarrollo de Taylor hasta el término hasta el quinto término.  Donde:

$k_1=hf(x_i,f_i)$

$k_2=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_1)$

$k_3=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_2)$

$k_4=hf(x_i+h, y_i +k_3)$

Siendo xi = x₀ + i*h, teniendo un total de 6 formulas iterativas, pero que se pueden convertir en 10 si calculamos por separados las f(xi,yi) que contiene cada k. Por tanto los enunciados III y IV están confusos. Cualquiera puede ser válido.

RESOLUCION

Realmente los cálculos de este método son bastante triviales pero Son muchos... para el intervalo desde 0 hasta 1 con paso de h=0.2 tenemos 5 intervalos donde hay que aplicar las 6 formulas iterativas que te adjunté arriba.

Comenzando con:

x₀ = 0

y₀ = 1

f(x₀,y₀) = -2y

h = 0.2

Podemos completar la tabla como te adjunto en la imagen, donde para facilidad también te adjunto el excel donde programé los cálculos.

Finalmente obtenemos y(1) ≅ 0,135416015

No se si te confundiste al copiar el enunciado II, o la opción fue calculada con muy poca precisión, en cualquier caso se que mi resultado está bien, porque al resolver de manera analítica el sistema se obtiene como solución:

$y(x) =e^{-2x}$

que si evaluamos en 1 obtenemos:

$y(1) =e^{-2(1)} = 0.135335$

Un resultado muy cercano a la aproximación que obtuve y(1) ≅ 0,135416015 .

Para mi la opción correcta debe ser Alternativa 3:  II y IV.

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