Question

Toma la ecuación:

$y' = 5xy - 7$

Sabiendo que $x=1$, genera $y = 9$, en un solo paso obtenemos $y$ cuando $x = 1,1$.

Considerando el texto mencionado y los conceptos de los métodos de Runge-Kutta de 4ª orden, analice las siguientes afirmaciones:

I. Cuando x = 1.1 entonces y = 14,286759.

II. Cuando x = 1,1 entonces y = 15,235654

III. Cuando x = 1,1 entonces y = 18,896784

IV. Cuando x = 1,1 entonces y = 17,543689

V. La amplitud para este intervalo está definida por h = 1,1 - 1,0 = 0,1

Lo que se dice es correcto, en:

Alternativa 1:
I y V

Alternativa 2:
I, II y IIII.

Alternativa 3:
I, II y IV.

Alternativa 4:
II, IV y V.

Alternativa 5:
II, III, IV y V

Answer 1

El método de Runge-Kutta de 4º  orden consiste en determinar constantes apropiadas de modo que una fórmula como:  

$y_{i+1} = y_i + \dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2+2k_3+k_4)$

coincida con un desarrollo de Taylor hasta el término hasta el quinto término.  Donde:

$k_1=hf(x_i,f_i)$

$k_2=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_1)$

$k_3=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_2)$

$k_4=hf(x_i+h, y_i +k_3)$

RESOLUCION

Tenemos f(x , y) = 5xy-7

x₀ = 1

y₀ = 9

h = 0.1

f(x₀ , y₀) = 5(1)(9)-7 = 38

Para i = 1 (Un solo paso)

x = x₀ + h*i = 1.1

$k_1=hf(x_0,f_0) = 0.1(38) = 3.8$

$k_2=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_1)\\k_2=0.1f(1+\dfrac{1}{2}(0.1), 9 +\dfrac{1}{2}3.8)\\k_2 = 0.1f(1.05,10.9)\\k_2=0.1(5(1.05)(10.9)-7)\\k_2 = 5.0225$

$k_3=hf(x_i+\dfrac{1}{2}h, y_i +\dfrac{1}{2}k_2)\\k_3=0.1f(1+\dfrac{1}{2}(0.1), 9 +\dfrac{1}{2}5.0225)\\k_3 = 0.1f(1.05,11.5113)\\k_3=0.1(5(1.05)(11.5113)-7)\\k_3 = 5.34343$

$k_4=hf(x_i+h, y_i +k_3)\\k_4=0.1f(1+0.1, 9 +5.34343)\\\\k_4 = 0.1(5(1.1)(14.3434)-7)\\k_4 = 7.18887$

$y_{1} = y_0 + \dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2+2k_3+k_4)\\y_{1} = 9 + \dfrac{1}{6}(3.8 + 2(5.0225)+2(5.34343)+(7.18887))\\\\\boxed{y_1 =14.28678}$

Concluimos que I es correcto y V es correcto (Alternativa 1)

Nota: Si requieres más exactitud usa más decimales. La opción I uno usa muy pocos decimales, por eso los dos últimos dígitos no coinciden, pero es correcto. Un resultado más exacto calculado programando el método es: y(1.1) = 14.286780989583335