Question

Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a.

∫▒(x^4-1)/(3x^3-3x) dx

Answer 1

La ecuación se integra por aplicación de las propiedades de la integral y de fórmulas de integración inmediata.

Explicación paso a paso:

$\bold{\int{\frac{ x^{4}-1}{3x^{3}-3x}}\,dx}$

En primer lugar factorizamos tanto numerador como denominador:

$\int{\frac{ x^{4}-1}{3x^{3}-3x}}\,dx =\int{\frac{( x^{2}+1)(x^{2}-1)}{3x (x^{2}-1)}}\,dx = \int{\frac{( x^{2}+1)}{3x}}\,dx$

Se reescribe la integral, separándola en dos integrales inmediatas:

$\int{\frac{ x^{4}-1}{3x^{3}-3x}}\,dx =\int{\frac{x^{2}}{3x}\,dx+\int{\frac{1}{3x}}\,dx \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{ x^{4}-1}{3x^{3}-3x}}\,dx =\frac{1}{3}\int{x}\,dx+\frac{1}{3}\int{\frac{1}{x}}\,dx \quad \Rightarrow$

$\bold{\int{\frac{ x^{4}-1}{3x^{3}-3x}}\,dx =\frac{1}{6}x^{2}+ \frac{1}{3}Ln(x)+C}$

Derivando el resultado:

$\bold{\frac{dy}{dx} =\frac{2x}{6}+\frac{1}{3x} =\frac{x^{2}+1}{3x}}$

Lo que queda comprobado.