Question

$\texttt{Dada la matriz } \bold{A} \texttt{ inversible}$
$\texttt{ de orden}\: \: n \texttt{ y sea la matriz}$
$x= I_n - \left [ A \cdot \left ( A^t \cdot A^{-1} \right )^{-1} \right ] A^t \cdot A^{-1}$
$\texttt{siendo} \: \: \bold{I_n} \texttt{ la matriz identidad y}\: \: \bold{O_n}$
$\texttt{la matriz nula.Determine } x^t$​

Answer 1

Sea $B=A^{t}\cdot A^{-1}$ entonces tenemos

$x=I_n-(A\cdot B^{-1})\cdot B\\\\x=I_n-[A\cdot (B^{-1}\cdot B)]~~~~\text{(Asociatividad del producto de matrices)}\\ \\x=I_n-(A\cdot I_n)\\ \\x=I_n-A~~~~~(\text{elemento neutro multiplicativo de las matrices: }I_n)\\ \\x^{t}=(I_n-A)^t\\ \\\boxed{x^{t}=I_n-A^t}$