ω⊕
QUE SON
Respuestas a la pregunta
ω ⊕ 2 ≠ 2 ⊕ ω en el contexto de la teoría de conjuntos NBG.
Realmente no he visto una prueba completa en ningún otro lugar además de la estructura básica. Por favor, dirígeme a uno si me lo perdí.
Intento:
Comenzando en LHS: ω ⊕ 2 = ω ⊕ ( 1 + 1 ) = ω ⊕ ( ( 0 + 1 ) + 1 ) = ( ( ω ⊕ 0 ) + 1 ) + 1 , ya que 2 es el sucesor de 1 y 1 es el sucesor de 0.
De la definición de "⊕" tenemos, ω ⊕ 0 = ω .
Sigue ω ⊕ 2 = ( ω + 1 ) + 1 = ω + 2 (el segundo ordinal sucesor de ω)
El quid ahora radica en mostrar 2 ⊕ ω = ω.
De la definición de "⊕" sabemos:
2 ⊕ ω = ⋃γ< ω2 ⊕ γ
Un teorema anterior decía: "Si X es un conjunto de ordinales entonces ⋃ x también es un ordinal y es el límite superior mínimo del conjunto X. "
Claramente, lo siguiente es un conjunto de ordinales: x = { β: β= 2 ⊕ γ ∀ γ< ω }
Así que queda por mostrar ⋃γ< ω2 ⊕ γ= sup { β: β= 2 ⊕ γ ∀ γ< ω } = ω.
Aquí es donde las cosas salen mal. Luego dije que primero tenemos que mostrarω es de hecho un límite superior para el conjunto.
Entonces 2 ⊕ γ≤ ω ∀ γ < ωnecesita mantenerse fiel. Suponga por contradicción:∃ β< ω S t 2 ⊕ β> ω
Esta es una clara contradicción si β= 0. Sigo corriendo en círculos por el caso dondeβes un sucesor ordinal. Desde que asumimosβ< ω no podemos tener β siendo un límite ordinal en sí mismo?
Actualización I:
Podemos asumir β= α + 1 para algunos α ∈ Activado
Entonces 2 ⊕ ( α + 1 ) > ω
Si podemos mostrar 2 ⊕ α < ω . . . ( 1 )
Esto proporcionaría la contradicción.
Actualización II:
Para probar esto, usaré la pista de Henning, pero con inducción normal:
α es un sucesor, así que podemos decir α , 2 ∈ ( < ) ω
Si α = 0 luego 2 ⊕ α < ω es trivial.
si α = η+ 1 para algunos η∈ Encendido
Podemos asumir α ⊕ η< ω }(!!) esta es la parte de la inducción transfinita de la que no estoy seguro. ¿Está permitido esto? ¿Como en la inducción normal?
Luego 2 ⊕ ( η+ 1 ) = ( 2 ⊕ η) + 1
Lo sabemos entonces ( 2 ⊕ η) + 1 < ω ya que 2 ⊕ η< ω (2 ⊕ η es un sucesor ordinal)
Hemos establecido α no es un ordinal límite, así que esto prueba ( 1 ).
Explicación paso a paso:
Aún queda por demostrar que ω es de hecho el menos límite superior que hace que esta prueba larga sea aún más larga, por lo que no recomendaría este enfoque.
mucho texto
Respuesta:
No sé Bro