Question

$\lim_{x \to \1} 1(\frac{x}{x-1} -\frac{1}{lnx} )$limite cuando x tiende a 1 de ((x/x-1)-(1/lnx))

Answer 1

Sustituyendo la x por 1 tenemos una indeterminación del tipo ∞-∞ por lo que procedemos a efectuar la resta y se obtiene:

lim x→1  ((x lnx - (x-1)) /(x-1) ln x)  

Si sustituyes ahora por 1 te sale una indeterminación del tipo 0/0 por lo que podemos aplicar L'Hôpital derivando el numerador y denominador:

lim x→1  (( lnx+1-1) /(lnx+(x-1)/x)  que operando sale lim x→1  (lnx /(lnx+1-1/x)

Si sustituimos el 1 vuelve a salir una indeterminación 0/0 por lo que volvemos a aplicar L'Hôpital derivando el numerador y denominador:

lim x→1  ((1/x) /(1/x+1/x²)

Operando el denominador tenemos:      

lim x→1  ((1/x) /((x+1)/x²)

Simplificando sale:

lim x→1  (x/(x+1))

Sustituyendo por x=1 tenemos que el límite pedido es: 1/2