Question

$\int\ \frac{1}{x-xlnx} \, dx$

Answer 1

Respuesta:

Para resolver esta integral usaremos el método de sustitución.

Explicación paso a paso:

1.- La integral es:

$\display\int{\frac{1}{x-xLn(x)}}\,dx$

2.- Emplearemos la siguiente sustitución

$z=Ln(x)$

3.-Despejando y derivando x nos queda:

$z=Ln(x)\\x=e^{z}\\dx=e^{z}dz$

4.- Reescribiendo el integrando con la nueva sustitución y su derivada nos queda:

$\dispaly{\int{\frac{e^{z}}{e^{z}-e^{z}z}}\,dz}=\\=\display{\int{\frac{e^{z}}{e^{z}(1-z)}}\,dz}$

5.- Simplificando y resolviendo la integral se obtiene:

$\display{\int{\frac{e^{z}}{e^{z}(1-z)}}\,dz}=\display{\int{\frac{1}{1-z}}\,dz}\\\\\textbf{esta es una forma casi completa}\\\textbf{por lo tanto hacemos otra sustituci\'on y nos queda:}\\\\u=1-z\Rightarrow du=-dz\\\textbf{As\'i}\\\\\int{\frac{1}{1-z}}\,dz=\display-{\int{\frac{du}{u}}}\,\,\textbf{esta es una forma inmediata por lo tanto:}\\-\int{\frac{du}{u}}=-Ln(u)+C\\\\\textbf{Deshaciendo el cambio nos queda:}\\-Ln(u)+C=Ln(1-z)+C\\\textbf{Deshaciendo nuevamente el cambio nos queda:}\\\\-Ln(1-z)+C=-Ln(1-Ln(x))+C$

Espero haberte ayudado.

Saludos.