Question

$\frac{ {x}^{3} + 3x }{3 {x}^{2} + 1 } = \frac{91}{37}$
Cómo se hace eso? ​

Answer 1

Respuesta:

Multiplicando en cruz:

$37(x^3 + 3x) = 91(3x^2 + 1)$

$\implies 37x^3 + 111x = 273x^2 + 91$

Ordenando el polinomio:

$\implies 37x^3 - 273x^2 + 111x - 91 = 0$

Parece necesario resolver una ecuación de tercer grado completa. Hace ya algunos siglos que se encontró el algoritmo para resolverla, pero no se suele enseñar en las escuelas más que como curiosidad. Así que como sospecha primera debemos pensar que es posible resolverlo encontrando las raíces enteras del polinomio por Ruffini. Sabemos que si queremos raíces enteras, estas deben ser divisores del término independiente, es decir, de 91, cuyos divisores enteros son:

±1, ±7, ±13, ±91

Probamos y encontramos que el 7 es una raíz del polinomio:

$\begin{array}{r|rrrr}&37&-273&111&-91\\7&&259&-98&91\\\cline{1-5}&37&-14&13&0\end{array}$

Por tanto nuestra ecuación original es igual a la siguiente:

(x - 7)(37x² - 14x + 13) = 0

Las raíces del polinomio del segundo factor serán raíces complejas, pero podemos calcularlas por la fórmula general para las ecuaciones de segundo grado:

37x² - 14x + 13 = 0

$\implies x=\frac{14\pm\sqrt{14^2-4\cdot37 \cdot 13} }{74}$

$\implies x=\frac{14\pm\sqrt{1728} }{74}$

$\implies x=\frac{14\pm\sqrt{2^6\cdot 3^3} }{74}$

$\implies x=\frac{14\pm 24\sqrt{3} }{74}$

$\implies x=\frac{7\pm 12\sqrt{3} }{37}$

$x_1 = \frac{7}{37} + \frac{12\sqrt{3} }{37} i$

$x_2 = \frac{7}{37} - \frac{12\sqrt{3} }{37} i$

Por tanto las soluciones de la ecuación de tercer grado son estas dos últimas más la de x = 7.