Question

$\frac{ \tan(x) - \cot(x) }{ \sin(x ) - cos(x) } = \sec(x) + \csc(x)$
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Answer 1

$\frac{tan(x) - cot(x)}{sin(x) - cos(x)} = sec(x) + csc(x)$

Lo que vamos a hacer es demostrar que esa igualdad es cierta y para ello seguiremos tres pasos.

1) Elegimos la expresión que a simple vista parezca más difícil.

2) Pasamos todo a senos y cosenos.

3) Aplicamos identidades trigonométricas y simplificamos la expresión.

1) Elegimos la expresión más difícil.

$\frac{tan(x) - cot(x)}{sin(x) - cos(x)}$

2) Pasamos todo a senos y cosenos.

$tan(x ) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$

$cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

Aplicamos eso

$\frac{ \frac{sin(x)}{cos(x)} - \frac{cos(x)}{sin(x)} }{sin(x) - cos(x)}$

3) Aplicamos identidades trigonométricas y simplificamos.

Sumamos las expresiones del numerador

$\frac{ \frac{ {sin}^{2} (x) - {cos}^{2}(x) }{sin(x)cos(x)} }{sin(x) - cos(x)}$

Ahora usamos la regla de las proporciones múltiples.

$\frac{ {sin}^{2} (x) - {cos}^{2} (x)}{(sin(x)cos(x))(sin(x) - cos(x))}$

Aplicamos diferencia de cuadrados.

(a²-b²)=(a+b)(a-b)

$\frac{( {sin} (x) - {cos}(x))(sin(x) + cos(x))}{(sin(x)cos(x))(sin(x) - cos(x))}$

Ahora simplificamos la expresión de numerador y denominador.

sen²(x)-cos²(x)

$\frac{sin(x) + cos(x)}{(sin(x)cos(x)}$

Ahora separamos en fracciones

$\frac{sin(x) }{sin(x)cos(x)} + \frac{cos(x)}{sin(x)cos(x)}$

Ahora simplificamos

$\frac{1}{cos(x)} + \frac{1}{sin(x)}$

Ahora sólo aplicamos que.

$\frac{1}{cos(x)} = sec(x)$

$\frac{1}{sin(x)} = csc(x)$

Aplicando

$sec(x) + csc(x)$

Y queda demostrada la identidad trigonométrica. Espero haberte ayudado.