Question

$\frac{dy}{dt} + 2y = 13 \sin(2t)$
Evaluado en
$y(0) = 4$
saben?​

Answer 1

Ecuación diferencial de primer orden

$\frac{dy}{dt}+2y=13sen(2t)$

1. Identificamos que tipo de EDO es

Una ecuación diferencial ordinaria y lineal de primer orden tiene la forma

$y'+p(t)y=q(t)$

Como se tiene la misma forma vamos a resolver como se resuelve una EDO de primer orden lineal

2. La solución es

$y(t) \mu(t)= \int q(t)\mu(t)$

Donde

$\mu (t)=e^{\int p(t)dt}$

3. Vemos quien es q(t) y p(t)

$p(t)=2$

$q(t)=13sen(2t)$

4. Calculamos mu

$\mu(t)=e^{2dt}$

$\mu(t)=e^{2t}$

5. Calculamos

$\int q(t) \mu(t)dt$

$\int (13sen(2t))(e^{2t})dt$

$13 \int sen(2t)e^{2t}dt$

Por ahora dejamos de lado al 13 para resolver la integral al final el resultado lo multiplicamos por 13.

$\int sen(2t)e^{2t}dt$

Para simplificar llamamos a la integral con la letra I

$\int sen(2t)e^{2t}dt = I$

Aplicamos integración por partes

$\int udv=uv- \int vdu$

Elegimos u la mas fácil de derivar y dv la mas fácil de integrar

$u=sen(2t)$

$du=2cos(2t)dt$

$dv=e^{2t}dt$

$v=\frac{1}{2}e^{2t}$

Aplicando integración por partes

$I=\frac{1}{2}(sen(2t))(e^{2t})-\int (\frac{1}{2}e^{2t}(2cos(2t))dt$

$I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t}-\int e^{2t}cos(2t)dt$

Resolvemos la otra integral aplicando integración por partes de nuevo

$u=cos(2t)$

$du=-2sen(2t)dt$

$dv=e^{2t}dt$

$v= \frac{1}{2}e^{2t}$

$\int e^{2t}cos(2t)=cos(2t)(\frac{1}{2}e^{2t})-\int (\frac{1}{2}e^{2t})(-2sen(2t)dt)$

$\int e^{2t}cos(2t)=\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + \int e^{2t}sen(2t)dt$

Notemos que se encuentra I, sustituimos

$\int e^{2t}cos(2t)=\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + I$

Sustituimos esta integral en la que resolviamos originalmente

$I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t}-\int e^{2t}cos(2t)dt$

$I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - (\frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} + I)$

$I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t} - I$

Ahora como I era la integral del inicio, debemos de despejarla, ya que queríamos conocer esa integral

$I+I =\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t}$

$2I=\frac{1}{2}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{2}cos(2t)e^{2t}$

$I=\frac{1}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{1}{4}cos(2t)e^{2t}$

Ahora multiplicamos por 13 como queríamos en un inicio

$13 \int sen(2t)e^{2t}dt = 13I$

$13I=\frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t}$

6. Sustituimos todo en la solución

$y(t) \mu(t)= \int q(t)\mu(t)$

$\mu(t)=e^{2t}$

$\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t}$

Que no se nos olvide agregar la constante de integración que es resultado de todas las otras constantes anteriores

$\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}sen(2t)e^{2t} - \frac{13}{4}cos(2t)e^{2t} + c$

Vamos a factorizar un 13/4 (eso no afecta a la constante ya que aun factorizando un número seguirá siendo la misma constante, y además factorizamos un e^2t

$\int q(t) \mu(t)dt = \frac{13}{4}e^{2t}(sen(2t) - cos(2t))+c_{1}e^{-2t}$

Sustituyendo nos queda

$y(t)e^{2t}=\frac{13}{4}e^{2t}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )$

Simplificando nos queda

$y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )$

Solo evalúa el punto que te dan y calcula C1

y(0)=4

x=0

y=4

$4=\frac{13}{4}(sen(0)-cos(0)+c_{1}e^{0})$

$4=\frac{13}{4}(0-1+c_{1})$

$4=\frac{13}{4}(c_{1}-1)$

$\frac{16}{13}=c_{1}-1$

$c_{1}=\frac{16}{13}+\frac{13}{13}$

$c_{1}=\frac{29}{13}$

Sustituyendo finalmente nos queda

$y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) +c_{1}e^{-2t} )$

$y(t)=\frac{13}{4}(sen(2t)-cos(2t) + \frac{29}{13} e^{-2t} )$

Arreglando un poco

$y(t)=\frac{1}{4}(13sen(2t)-13cos(2t) + 29e^{-2t} )$