Question

$demuestro \: las \: identidades \: de \: sen \alpha \times sec \alpha \times cotg \alpha = \cos {?}^{2} \alpha + sen {?}^{2} \alpha$


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Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Tenemos la identidad:

$Sen\alpha *Sec\alpha *Cotg\alpha =Cos\alpha ^{2} +Sen\alpha ^{2}$

Antes de demostrarlo, vamos a ocupar las siguientes definiciones y un Teorema:

• Teorema fundamental de la Trigonometria:

$Sen\alpha ^{2} +Cos\alpha ^{2} = 1$

• Definición de Secante (Sec)

$Sec\alpha = \frac{1}{Cos\alpha }$

• Definición de tangente (Tan)

$Tan\alpha = \frac{Sen\alpha }{Cos\alpha }$

• Definición de Cotangente (Cotg)

$Cotg\alpha = \frac{1}{Tan\alpha }$  ⇔ $\frac{1}{\frac{Sen\alpha }{Cos\alpha } }$   ⇔   $\frac{Cos\alpha }{Sen\alpha }$

Ahora si estamos en condiciones de resolver el ejercicio

Partimos del lado izquierdo, aplicando las definiciones de Secante y Cotangente

$Sen\alpha *\frac{1 }{Cos\alpha } *\frac{Cos\alpha }{Sen\alpha } = Cos\alpha ^{2} +Sen\alpha ^{2}$

Simplificando

$Sen\alpha *\frac{1}{Sen\alpha } = Cos\alpha ^{2}+Sen\alpha ^{2}$

$1= Cos\alpha ^{2}+Sen\alpha ^{2}$

Aplicando el teorema del lado derecho

$1= 1$    QED

Saludoss