Question

$8 \sqrt{x} + 9 \sqrt[3]{x2} + 4 \sqrt{x3}$
$\frac{1}{2} \sqrt[3]{x2} + 4 \sqrt[4]{ \frac{x5}{3} }$
derivada de estas dos ​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Ejercicio 1.

$8\sqrt{x} +9\sqrt[3]{x^{2}} +4\sqrt{x^{3}}$

Redefinimos expresión

$8x^{\frac{1}{2}} +9x^{\frac{2}{3} } +4x^{\frac{3}{2}}$

Para derivar se usara la regla:

$y=c\: \cdot u(x) \: \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \: \: y'=c\: \cdot u'(x)$

$f'(x)=\frac{d}{dx}[8x^{\frac{1}{2}} ] +\frac{d}{dx}[9x^{\frac{2}{3} } ] +\frac{d}{dx}[4x^{\frac{3}{2}} ]$

$f'(x)=8\cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{1}{2}} ] +9\cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{2}{3} } ] +4\cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{3}{2}} ]$

$f'(x)=8\cdot \frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1} +9\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{2}{3} -1} +4\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}$

$f'(x)=4\cdot x^{-\frac{1}{2}} +6\cdot x^{-\frac{1}{3}} +6\cdot x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} } +\frac{6}{x^{\frac{1}{3}} } +6\cdot x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x} } +\frac{6}{\sqrt[3]{x} } +6\cdot \sqrt{x}$

Ejercicio 2.

$\frac{1}{2} \sqrt[3]{x^{2}} +4\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} }$

Redefinimos expresión

$\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3} } +4\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} }$

Para derivar esta ecuación usaremos las reglas:

$y=u\pm v \: \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \: \: y'=u'\pm v'\\ \\y=c\: \cdot u(x) \: \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \: \: y'=c\: \cdot u'(x)\\ \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Por lo que:

$u(x) = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \wedge \: \: \: \: \: \: \: \: \: v(x)=4\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} }$

$u'(x)=\frac{d}{dx}[\frac{1}{2} x^{\frac{2}{3} }] =\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}[x^{\frac{2}{3} }]$

$u'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} -1}$

$u'(x)=\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3} }$

$u'(x)=\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3} } }$

$u'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x} }$

$v'(x)=\frac{d}{dx}[4\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} } \:]=4\cdot \frac{d}{dx}[\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} } \:]$

Consideramos : $r= \frac{x^{5}}{3}$ , por lo que aplicamos regla:

$v'(x)=4\cdot \frac{d}{dx}[\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} } \:]$

$v'(x)=4\cdot \frac{d}{dr}[\sqrt[4]{r} \:] \frac{d}{dx}[\frac{x^{5}}{3}]$

$v'(x)=4\cdot \frac{d}{dr}[r^{\frac{1}{4}} ] \{\frac{1}{3}\cdot \frac{d}{dx}[x^{5}] \}$

$v'(x)=4\cdot \frac{1}{4}\cdot r^{\frac{1}{4}-1}\cdot \frac{1}{3}\cdot 5\cdot x^{5-1}$

$v'(x)=4\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3} \cdot 5\cdot r^{-\frac{3}{4}}\cdot x^{4}$

$v'(x)=\frac{5}{3} \cdot r^{-\frac{3}{4}}\cdot x^{4}$

$v'(x)=\frac{5}{3} \cdot (\frac{x^{5}}{3})^{-\frac{3}{4}}\cdot x^{4}$

$v'(x)=\frac{5}{3\:\cdot (\frac{x^{5}}{3})^{\frac{3}{4}}} \cdot x^{4}$

$v'(x)=\frac{5}{3\:\cdot \sqrt[4]{(\frac{x^{5}}{3})^{3}} } \cdot x^{4}$

$v'(x)=\frac{5}{3\:\cdot \sqrt[4]{\frac{x^{15}}{27} } } \cdot x^{4}$

Por lo que:

$f'(x)=u'(x)+v'(x)$

$f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x} } + \frac{5}{3\:\cdot \sqrt[4]{\frac{x^{15}}{27} } } \cdot x^{4}$

La expresión aún se puede seguir simplificando

$f'(x)=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x} } + \frac{5}{\sqrt[4]{\frac{x^{15}}{27} } } \cdot x^{4} \right)$

$f'(x)=\frac{1}{3} \left[ x^{-\frac{1}{3}} + 5x^{4} \cdot (\frac{x^{15}}{27} )^{-\frac{1}{4} } \right]$

Respuesta:

$f(x)=8\sqrt{x} +9\sqrt[3]{x^{2}} +4\sqrt{x^{3}} \\ \\f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x} } +\frac{6}{\sqrt[3]{x} } +6\cdot \sqrt{x}$

$f(x)=\frac{1}{2} \sqrt[3]{x^{2}} +4\sqrt[4]{\frac{x^{5}}{3} } \\ f'(x)=\frac{1}{3} \left[ x^{-\frac{1}{3}} + 5x^{4} \cdot (\frac{x^{15}}{27} )^{-\frac{1}{4} } \right]$