Question

Termino donde el exponente de w es 3 en la expansión del binomio:

(w^2/z^3 + z/w)^12​

Answer 1

El coeficientes es 792

Para poder deducir esto, debemos recordar que la expansión de un binomio es la siguiente

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}{ {n \choose k} a^{n-k}b^k}$

Donde el primer término se conoce como la combinatoria.

En nuestro caso tenemos n = 12, a = w²/z³, b = z/w, por lo tanto

$(\frac{w^2}{z^3})^{12 -k}(\frac{z}{w})^k = \frac{w^{2(12 -k) - k}}{z^{k - 3(12 - k)}} = \frac{w^{24 - 3k}}{z^{4k - 36}}$

Nosotros queremos saber cuándo

24 -3k = 3, esto se da siempre que

3k = 21

k = 7

Y por lo tanto, el coeficiente de este término es

${12 \choose 7} = \frac{12!}{7! \times 5!} = 792$

Es decir, el término donde el exponente de w es 3 es 792