Question

teorema del binomios de newton (3-2x)³ respuesta ​

Answer 1

Teorema del Binomio de Newton

• Respuesta:

$\blue{\boxed{\green{ \sf (3 - 2x)^3 = -8x^3 + 36x^2 - 54x + 27}}}$

• Explicacion

Utilizamos el teorema del binomio de newton para desarrollar la suma de dos números, elevada a la potencia n.

Teorema del Binomio de Newton:

$\\ \sf(a+b)^n =\sf\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^{k} \\ \\ \sf \:Donde : \\ \star \: \sf n \: es \: un \: n\acute{u}mero \: entero. \: ( n \in \mathbb{N}) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \star k \: es \: un \: n\acute{u}mero \: entero \: inferior \: o \: igual \: a \: n. \: (k \leqslant n, \: k \: \in \: \mathbb{ N}) \\ \\ \\ \sf \star \: \displaystyle\binom{ \sf \: n}{ \sf \: k} \sf \: es \: un \: coeficiente\: binomial \: que \: se \: culcula \: as\acute{i}: \\ \\ \\ \sf \displaystyle\binom{ \sf \: n}{ \sf \: k} = \sf \dfrac{n! }{(n - k)! k ! }$

Aplicamos el Teorema del binomio de Newton

$\\ \\ \sf (3 - 2x)^{3}= (3 + (-2x))^{3} \sf\sum\limits_{k=0}^{3} \binom{3}{k}(3)^{3-k}(-2x)^{k}$

$\\ \\ \\=\sf \binom{ \sf 3}{ \sf 0}(3)^{3}(-2x)^0+ \sf\binom{ \sf 3}{ \sf 1}(3)^{2}(-2x)^1+\sf \binom{ \sf 3}{ \sf 2}(3)^{1}(-2x)^2+\binom{ \sf 3}{ \sf 3}(3)^{0}(-2x)^3$

Determinamos el valor de los coeficientes binominales

$\\ \\ \star \: \sf \displaystyle\binom{ \sf 3 }{ \sf \: 0} = \sf \dfrac{3! }{(3 - 0)!0 ! } = \dfrac{3!}{3!0!} = \boxed{\sf 1} \\ \\ \star \: \displaystyle\binom{ \sf 3 }{ \sf \: 1} = \sf \dfrac{3! }{(3 - 1)!1 ! } = \dfrac{3!}{2!1!} = \boxed{\sf 3} \\ \\ \star \: \displaystyle\binom{ \sf 3 }{ \sf \: 2} = \sf \dfrac{3! }{(3 - 2)!2 ! } = \dfrac{3!}{1!2!} = \boxed{\sf 3} \\ \\ \star \: \displaystyle\binom{ \sf 3 }{ \sf \: 3} = \sf \dfrac{3! }{(3 - 3)!3 ! } = \dfrac{3!}{0!3!} = \boxed{\sf 1}$

$\implies \sf (3 - 2x)^3 = 3^3 + 3(3^2)(-2x) + 3(3)(-2x)^2 + (-2x)^3 \\ \\ \sf = 27 -54x + 36x^2 -8x^3 = \boxed{\sf -8x^3 + 36x^2 - 54x + 27}$