Teorema de pintagonas encuentra el valor de c en los siguientes triángulos rectangulares
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Objetivos de aprendizaje
· Usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.
· Resolver problemas de aplicación con el Teorema de Pitágoras.
Introducción
Hace mucho tiempo, un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. A esta propiedad — que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura — se le conoce como Teorema de Pitágoras.
Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarnos a saber más sobre la construcción de los triángulos. Y la mejor parte — ni siquiera necesitas hablar Griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de derivar su teoría.
Explicación paso a paso:
El teorema de Pitágoras
Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esta relación se representa con la fórmula:
En el recuadro anterior, habrás notado la palabra “cuadrado,” así como los 2s arriba de las letras en Elevar al cuadrado un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, elevar al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos números comunes elevados al cuadrado se muestran en la siguiente tabla.
Número
Número multiplicado por sí mismo
Cuadrado
1
12 = 1 • 1
1
2
22 = 2 • 2
4
3
32 = 3 • 3
9
4
42 = 4 • 4
16
5
52 = 5 • 5
25
10
102 = 10 • 10
100
Cuando ves la ecuación , puedes pensar en esto como “la longitud del lado a multiplicada por sí misma, mas la longitud del lado b multiplicada por sí misma es igual a la longitud de c multiplicada por sí misma.”
Intentemos el Teorema de Pitágoras con un triángulo.
El teorema es válido para este triángulo rectángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es válido para todos los triángulos rectángulos.
El Teorema de Pitágoras puede también representarse en términos de área. En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. Puedes ver la ilustración siguiente para el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.
Observa que el Teorema de Pitágoras sólo funciona para triángulos rectángulos.
Encontrando la longitud de la hipotenusa
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Puesto de otra manera, si conoces las longitudes de a y b, puedes encontrar c.
En el triángulo anterior, tenemos las medidas de los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras.
Sustituir los valores conocidos para a y b.
Evaluar.
Simplificar. Para encontrar el valor de c, piensa sobre un número que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a 169. ¿Funciona el 10? ¿O el 11? ¿12? ¿13? (Puedes usar una calculadora para multiplicar los números que no son familiares)
13 = c
La raíz cuadrada de 169 es 13
Usando la fórmula, puedes encontrar que la longitud de c, la hipotenusa, es 13.
En este caso, no conocías el valor de c — tenías el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, y la tuviste que encontrar de ahí. Cuando se te da una ecuación como y se te pide el valor de c, a esto se le llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Nota que encontraste un número, c, cuya raíz cuadrada fue 169.)
Encontrar la raíz cuadrada requiere algo de práctica, pero también toma ventaja de la multiplicación, la división, y un poco de prueba y error. Observa la tabla siguiente.
Número x
Número y el cual, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número x
Raíz cuadrada y
1
1 • 1
1
4
2 • 2
2
9
3 • 3
3
16
4 • 4
4
25
5 • 5
5
100
10 • 10
10
Es buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, porque son frecuentes en matemáticas. Si puedes recordar estos números — o si puedes usar una calculadora para encontrarlos — calcular las raíces cuadradas será cuestión de recordar.
¿Para cuál de estos triángulos es ?
A)
B)
C)
D)
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