Teorema de Euclides URGENTE
dterminar en cada caso el valor de m, n y h
Respuestas a la pregunta
Explicación paso a paso:
Teorema de Euclides
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de sus vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.
Además de estas y otras obras, Euclides escribió Los Datos que trata de la resolución de problemas, dándose elementos de la figura y determinándose otros. Los Porismos es una de sus obras perdidas; se cree que trataba de los Lugares Geométricos y de proposiciones sobre transversales. Muchos piensan que esta ha sido la mejor obra de Euclides.
A continuación se presentan dos Teoremas de Euclides, uno referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.
Teorema de Euclides referido a un cateto
“En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”
Demostración:
x
Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):
donde
DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)
AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)
c = p + q
Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)
x
Luego;
Euclidea_teoremas_001
Que es lo mismo que:
Euclides_teoremas_002
x
x
De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,
entonces
Euclides_teoremas_003
Que es lo mismo que:
Euclides_teorema_004
Ver: PSU: Geometría; Pregunta 09_2005
Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.
Por lo tanto,
Euclides_teoremas_009
Ejemplos:
x
1) En la figura a la derecha, determinar a,
si c = 7 y q = 4
Euclides_teoremas_010
x
2) En la figura a la izquierda, determinar b
si c = 4 y p = 1
Euclides_teoremas_011
Teorema de Euclides relativo a la altura
“En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”
x
Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales.
Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)
Entonces:
Euclides_teoremas_005
Reemplazando:
Euclides_teoremas_006
Llegamos a: Euclides_teormeas_007
A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:
“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.
Por lo tanto, si h2 = p • q
entonces Euclides_teoremas_012
Ejemplos:
x
1) En la figura a la derecha, determinar h,
si p = 2 y q = 8
Euclides_Teoremas_013
x
2) En la figura a la izquierda, determinar h,
si p = 3 y q = 12
Euclides_teoremas_014
La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo,
Respuesta:
jsk
Explicación paso a paso:
jwoifvnovmncnvenvowv ojofjg oioj jioij oijoijj oijjio ijjoijo joijoijoj joijoijjo jjojojoijoijoi joij ojo ij iojoij oij io joj oi joi jo ijo jo ij o