Question

Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1 y 2.

Para una serie de potencias dada  hay sólo tres posibilidades: i) La serie converge sólo cuando x=a. ii) La serie converge para toda x y iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge para  y diverge para . 

El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias.

Obsérvese que la desigualdad  se puede reescribir de nuevo como   

 

Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos  y de este intervalo.

 

1.   Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de  converge la serie de potencias? Justifique su respuesta

 

 

a.   La serie converge solo cuando x=2

b.   La serie converge absolutamente para   lo que equivale a

c.   La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -

d.   La serie converge absolutamente para   lo que equivale a  -

 

2.   El radio de convergencia de la serie de potencias es

a.  

b.  

c.  

d.  

Answer 1

RESPUESTA:

1- Para buscar el radio y el intervalo de convergencia debemos aplicar el criterio de la razón el cual nos indica que:

lim(n→∞) |a(n+1)/an| < 1

Teniendo en cuenta este criterio, tenemos la siguiente serie:

∑ n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹  → Desde n = 0 hasta ∞

Sabemos entonces que:

an = n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹

a(n+1) = (n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹/(3ⁿ⁺²)

Ahora, aplicamos el criterio de la razón que mencionamos al principio.

lim(n→∞) [(n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹/(3ⁿ⁺²)]/[n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹]

Aplicamos la doble C y tenemos que:

lim(n→∞) (3ⁿ⁺¹·(n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹)/(3ⁿ⁺²·n·(x+2)ⁿ)

Ahora, aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales, tenemos:

lim(n→∞) (1/3)·(n+1)(x+2)/n

Aplicamos el límite y tenemos que:

lim(n→∞) (1/3)·(n+1)(x+2)/n = (1/3)·(x+2)

Ahora, para que la serie puede converger el CRITERIO DE LA RAZÓN, nos indica que debe ser menor que 1 el modulo del limite, entonces:

|(1/3)x+2|< 1

|x+2| < 3 → Condición sin extensión

Ahora, debemos aplicar propiedad de modulo, tenemos:

-3 < x+ 2 < 3

Sumamos (-2) en ambos extremos:

-3 - 2 < x  < -2 + 3

-5 < x < 1

Nuestra opción correcta es la d, converge para |x+2| < 3 que equivale al intervalo -5 < x < 1.

-------------------------------------------------------------------------------------

Para este segundo ejercicio debemos aplicar el mismo procedimiento del primero, y aplicar el mismo criterio.

∑ (-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³ → Desde n = 0 hasta ∞

Tenemos entonces:

an = (-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³

a(n+1) = (-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/(n+1)³

Aplicamos el criterio de la razón:

lim(n→∞) [(-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/(n+1)³]/[(-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³]

Aplicamos doble C, tenemos:

lim(n→∞) n³· (-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/ (n+1)³·(-1)ⁿ⁺¹·xⁿ

Aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales:

lim(n→∞) (-1)¹·n³·x/(n+1)³

Resolvemos el límite y tenemos que:

lim(n→∞) (-1)¹·n³·x/(n+1)³ = -x

Aplicamos el criterio de la razón, en donde la serie  diverge si es el modulo del limite es menor a 1, tenemos:

|-x| < 1

Sabemos que el modulo elimina al negativo, entonces:

|x| < 1

Por tanto, el radio de esta serie es R = 1, la opción correcta es la C.

-------------------------------------------------------------------------------------

NOTAS:

1- Siempre que estemos trabajando con series de potencia y debamos buscar el intervalo y radio de convergencia se debe utilizar el criterio de la razón, en cualquier fuente sale este criterio para mayor información.

2- Al momento de resolver el limite recordemos que este es cuando n tiende a infinito, por tanto, todo lo que no sea n es una constante y sale del limite.

3- Estos limites siempre tienen la característica que se pueden resolver por orden mayor, es decir, siempre el númerador y denominador crecen de igual manera, por tanto el limite es la división de los coeficientes de las variables con mayor potencia. Para verificar se recomienda utilizar L'Hopital.

4- En caso que sea necesario, repasar propiedades de potencia, ya que son fundamentales para simplificar, antes de resolver el limite, SIEMPRE, hay que simplificar.