Tengo una colección de cómics manga que quiero vender. Puedo formar lotes con 6, 8 y 10 cómics sin que sobre ni falte ninguno. Calcula cuántos ejemplares tengo si sabemos que se trata de un número comprendido entre 130 y 300. Ayuda doy 20 puntos
Respuestas a la pregunta
Tarea:
Tengo una colección de cómics manga que quiero vender. Puedo formar lotes con 6, 8 y 10 cómics sin que sobre ni falte ninguno.
Calcula cuántos ejemplares tengo si sabemos que se trata de un número comprendido entre 130 y 300.
Respuesta:
240 cómics.
Explicación paso a paso:
Se trata de encontrar un número dentro de ese intervalo (130 - 300) el cual debe ser múltiplo simultáneo de 6, 8 y 10 ya que nos dice que formando lotes con esas cantidades por lote, no le sobra ninguno.
Para resolver esto hay que buscar el mínimo común múltiplo de esas cantidades y si el resultado queda por debajo de 130, multiplicar dicho mcm por otro número hasta llegar a entrar dentro de ese intervalo de 130 a 300.
Descompongo 6, 8 y 10 en sus factores primos y aplico la regla para hallar su mcm.
6 = 2 × 3
8 = 2³
10 = 2 × 5
El mcm. es el producto de los factores no comunes (3 × 5) y los comunes elevados a los mayores exponentes (2³), por tanto:
mcm (6, 8, 10) = 2³ × 3 × 5 = 120
Como ese número es menor que 130, no nos vale.
Tal como he dicho antes, hay que multiplicarlo por una cifra, la menor posible, de forma que llegue a entrar dentro del intervalo. Dicha cifra será el 2 de modo que:
120 × 2 = 240
Y este resultado sí que está dentro del intervalo y sigue siendo múltiplo de 6, 8 y 10.
Por tanto la respuesta es que tienes 240 cómics.
Saludos.
Respuesta: 240 cómics
Explicación paso a paso:
Vamos a llamar N al número de cómics que tienes.
Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.
Nos dicen que si agrupa los cómics de 6 en 6 no le sobra ninguno.
Esto se puede expresar como N = 6ᶬ
Nos dicen que si agrupa los cómics de 8 en 8 no le sobra ninguno.
Esto se puede expresar como N = 8ᶬ
Nos dicen que si agrupa los cómics de 10 en 10 no le sobra ninguno.
Esto se puede expresar como N = 10ᶬ
Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.
Resumiendo, tenemos:
N = 6ᶬ
N = 8ᶬ
N = 10ᶬ
Como el número buscado es múltiplo de 6, 8 y 10, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números:
N = [M.C.M.(6,8,10)]ᶬ
factorizamos estos números
6 = 2·3
8 = 2³
10 = 2·5
El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
El mínimo común múltiplo de 6,8,10 = 2³·3·5 = 120
N = 120ᶬ => el número de cómics será múltiplo de 120
Los números de cómics que cumplen las condiciones son de la manera:
Nₙ = n·120 siendo n∈ℕ un número natural.
N₁ = 1·120 = 120 cómics, como el enunciado dice que el número buscado está comprendido entre 130 y 300, esta no es la solución.
N₂ = 2·120 = 240 cómics, como el enunciado dice que el número buscado está comprendido entre 130 y 300, esta es la solución.
Respuestas: Tienes 240 cómics.
Verificación
N₂ = 240 cómics de 6 en 6 no sobra ninguno → 240(mod 6) = 0, sobran 0
[240/6 = 40 ], [40×6 = 240], [240-240 = 0]
N₂ = 240 cómics de 8 en 8 no sobra ninguno → 240(mod 8) = 0, sobran 0
[240/8 = 30], [30×8 = 240], [240-240 = 0]
N₂ = 240 cómics de 10 en 10 no sobra ninguno → 240(mod 10) = 0, sobran 0
[240/10 = 24], [24×10 = 240], [240-240 = 0]