Question

Tenga en cuenta que en la igualdad 360 = 90 + 120 + 150 las cuotas son
proporcionales a 3, 4 y 5. ¿De cuántas formas podemos escribir 360 como la
suma de tres cuotas enteras, en orden ascendente y proporcional a tres
enteros positivos consecutivos?
(A) 12
(B) 15
(C) 60
(D) 20
(E) N.A.​

Answer 1

Existen B) 15 maneras posibles de escribir al 360 como la suma de tres cuotas proporcionales a tres números enteros consecutivos.

Explicación paso a paso:

El problema se puede empezar a analizar transformando la suma de cuotas en una multiplicación, y en la suma mostrada podemos sacar factor común de 30, ya que todas las cuotas son divisibles por 30:

360=90+120+150

360=30.3+30.4+30.5=30(3+4+5)=30.12.

O sea, la cantidad de maneras posibles para escribir 360 en forma de una suma de tres cuotas enteras proporcionales a tres enteros consecutivos es expresando al 360 como un producto en el que uno de los factores se pueda escribir como la suma de 3 enteros consecutivos.

A su vez, la suma de tres enteros consecutivos se puede expresar así:

(x-1)+x+(x+1)=x-1+x+x+1=3x.

O sea, cualquier múltiplo de 3 se puede expresar como la suma de tres enteros consecutivos, por lo que tenemos que mirar entre los divisores de 360 aquellos que sean múltiplos de 3:

360={1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360}

Los divisores múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Siendo ellos 15, por lo tanto hay 15 maneras posibles de escribir 360 como la suma de tres cuotas proporcionales a enteros consecutivos