Question

Tema Máximos y mínimos: criterio de la segunda derivada

1.- proporciona los puntos críticos y determina si tiene un máximo, un mínimo o punto de inflexión; Realiza un bosquejo de la gráfica de la función.



lo ocupo lo más antes posible :'v​

Answer 1

Respuesta:

Ejercicio 3:

La función dada sólo tiene  un punto crítico en x = 1. Y en este punto hay un máximo relativo de la función.

Ejercicio 4:

La función dada tiene 2 puntos críticos (cuando x = 0 y x = -4/3 ). En x = 0 existe un mínimo relativo. Y en x = -4/3 existe un máximo relativo

Explicación:

Ejercicio 3. Funcion dada y = -$x^{2}$ + 2x + 2

Cálculo de la 1ra. Derivada:

y’ = -2x + 2

Igualando a cero, se hallan los puntos críticos (valores o raíces que hacen posible la igualdad).

y' = 0      ⇒      -2x + 2 = 0      ⇒     x = 1      Es decir, que cuando x = 1, existe un punto crítico de la función.

Cálculo de la 2a. Derivada:

y’’ = -2  Como su valor es negativo para cualquier valor de x, implica que en el punto crítico x = 1 también es negativo, y existe un máximo relativo de la función dada.

Ejercicio 4. Funcion dada y = $x^{3}$ + 2$x^{2}$ + 1

Cálculo de la 1ra. Derivada:

y’ = 3 + 4x = x (3x + 4)

Igualando a cero, se hallan los puntos críticos (valores o raíces que hacen posible la igualdad).

y' = 0      ⇒        x (3x + 4) = 0      ⇒     x = 0, x = -4/3.  Es decir, que, existen 2 puntos crítico de la función (cuando x = 0 y x = -4/3 )

Cálculo de la 2a. Derivada:

y’’ = 6x + 4  

Evaluamos la 2a. derivada en los puntos críticos.

y’’(1) = 6 (1) + 4 = 10,  

y’’(-4/3) = 6 (-4/3) + 4 = -8 + 4 = -4

Como el valor de la 2ª derivada es positivo cuando x = 0, implica que en el punto crítico x = 0 existe un mínimo relativo de la función dada.

Como el valor de la 2ª derivada es negativo cuando x = -4/3, implica que en el punto crítico x = -4/3 existe un máximo relativo de la función dada.

Los esbozos de las funciones se muestran en las figuras.