Question

Tema II: a cierta hora del día un edificio proyecta una sombra de 150 m sobre el piso formando un ángulo de 40 grados desde un punto del piso hasta la parte más alta del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio?

Answer 1

La altura del edificio es de aproximadamente 125.90 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el edificio hasta cierto punto sobre el piso donde esta se extiende, siendo al mismo tiempo el plano del piso, donde el piso forma con la sombra del edificio en cierto punto un ángulo de 40°. Siendo este el ángulo de elevación hasta la cima del edificio-. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto sobre el piso donde culmina la sombra hasta el extremo superior del edificio

Donde se pide hallar:

La altura del edificio

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la longitud de la sombra proyectada por el edificio y de un ángulo de elevación de 40°

• Sombra del edificio = 150 metros

• Ángulo de elevación = 40°

• Debemos hallar la altura del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la longitud de la sombra proyectada por el edificio, y conocemos un ángulo de elevación de 40° y debemos hallar la altura del edificio - la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la altura del edificio

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =40^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(40^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(40^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ sombra\ del \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio = sombra\ del \ edificio\ . \ tan(40^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio = 150 \ m\ . \ tan(40^o) } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio = 150 \ m\ . \ 0.839099631177 } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio = 125.8649 \ m } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ edificio \approx 125.90 \ m } }$

Luego la altura del edificio es de aproximadamente 125.90 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto