Question

Tema: Circunferencia Trigonometrica

Ya intente pero no me sale clave, talvez me equivoco en algo, porfa quisiera que me ayuden a resolverlo.

Gracias.

Answer 1

f(x)=2*cos(x/2)+1

Usando la teoría de coseno de un ángulo medio:

$cos(\frac{x}{2})=- \sqrt{ \frac{1+cos(x)}{2}}$

Entonces la función f(x):

$f(x)=2*(-\sqrt{\frac{1+cosx}{2}})+1$

$f(x)=-2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}+1$

Si: x ∈ [ π ; 5π/3 ]

Entonces:
π ≤ x < 5π/3

Aplicando coseno:
cosπ ≤ cosx < cos5π/3
-1 ≤ cosx < 1/2

Sumandole +1:
+1-1 ≤ 1+cosx < 1+1/2
0 ≤ 1+cosx < 3/2

Dividiendo por 2:
$\frac{0}{2}\leq\frac{1+cosx}{2}\ \textless \ \frac{3}{4}$
$0\leq\frac{1+cosx}{2}\ \textless \ \frac{3}{4}$

Sacando raíz cuadra:
$\sqrt{0}\leq \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textless \ \sqrt{\frac{3}{4}}$
$0\leq \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textless \ \frac{1}{2}*\sqrt{3}$

Multiplicando por 2:
$2*0\leq 2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textless \ \frac{2}{2}*\sqrt{3}$
$0\leq2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textless \ \sqrt{3}$

Multiplicando por -1:
$-1*0 \geq-1*2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textgreater \ -1*\sqrt{3}$
$0\geq-2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\ \textgreater \ -\sqrt{3}$

Sumando +1:
$0+1\geq-2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}+1\ \textgreater \ -\sqrt{3}+1$
$+1\geq-2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}+1\ \textgreater \ -\sqrt{3}+1$

Como:
$f(x)=-2*\sqrt{\frac{1+cosx}{2}}+1$

Entonces:
$+1\geq f(x)\ \textgreater \ -\sqrt{3}+1$

Por lo tanto:
$]-\sqrt{3}+1;+1]$

Nota:
$cos(\frac{x}{2})=- \sqrt{ \frac{1+cos(x)}{2}}$
Es negativo debido a que el ángulo x/2, es decir [π/2;5π/6[ están en el segundo cuadrante, y en el segundo cuadrante el coseno es negativo.