Question

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Resuelva esto
$\left \{ {6x+2y = 8} \atop {5x-4y=-1}} \right$

Answer 1

Recordemos que para poder solucionar un sistema de ecuaciones lineales existen varios métodos, entre los más conocidos están:

            $\begin{array}{cccccc}\boxed{\boldsymbol{\sf{M\acute{e}todo\atop gr\acute{a}fico}}}&&&&\boxed{\boldsymbol{\sf{M\acute{e}todo\ de\atop reducci\acute{o}n}}}\\&\red{\nwarrow}&&\red{\nearrow}&\\&&{{\displaystyle\sf{M\acute{e}todos\ para\ resolver}}\atop{\displaystyle\sf{un\ sistema\ de\ ecuaciones}}}\atop{\displaystyle\sf{lineales}}&&\\&\red{\swarrow}&&\red{\searrow}&\\\boxed{\boldsymbol{\sf{M\acute{e}todo\ de\atop sustituci\acute{o}n}}}&&&&\boxed{\boldsymbol{\sf{M\acute{e}todo\ de\atop reducci\acute{o}n}}}\end{array}$

Para este caso usaremos el método de igualación, el cual consiste en despejar una misma variable de ambas ecuaciones e igualar ambas expresiones.

Entonces despejamos "x" de la primera ecuación

                                 $\begin{array}{ccccc}\sf{6\,x}&\sf{+}&\sf{2\,y}&\sf{=}&\sf{8}\quad\cdots\cdots\quad\boldsymbol{\sf{(1)}}\\\\\sf{5\,x}&\sf{-}&\sf{4\,y}&\sf{=}&\sf{-1}\quad\cdots\cdots\quad\boldsymbol{\sf{(2)}}\end{array}$

                $\begin{array}{ccccccc}\boxed{{\sf{Despejamos\ "x"\ de}\above0pt{\sf{la}\ \boldsymbol{\sf{ecuaci\acute{o}n\ (1)}}}}}&&& \Longrightarrow&&&\begin{array}{c}\sf{6\,x+2\,y = 8}\\\\\sf{6\,x = 8-2\,y}\\\\\sf{x = \dfrac{\not\!8-\not\!2\,y}{\not\!6}}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{x = \dfrac{4-y}{3}}}}\end{array}\end{array}$

               $\begin{array}{ccccccc}\boxed{{\sf{Despejamos\ "x"\ de}\above0pt{\sf{la}\ \boldsymbol{\sf{ecuaci\acute{o}n\ (2)}}}}}&&& \Longrightarrow&&&\begin{array}{c}\sf{5\,x-4\,y = -1}\\\\\sf{5\,x = 4\,y-1}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{x = \dfrac{4\,y-1}{5}}}}\end{array}\end{array}$

Igualamos ambas expresiones

                                              $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{4-y}{3} = \dfrac{4\,y-1}{5}}\\\\\sf{5(4-y) = 3(4\,y-1)}\\\\\sf{20-5\,y = 12\,y-3}\\\\\sf{-5\,y-12y= -20-3}\\\\\sf{-17\,y = -23}\\\\\sf{y = \dfrac{-23}{-17}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{y = \dfrac{23}{17}}}}}\end{array}$

Usaremos alguna de las ecuaciones despejadas para hallar "x"(no importa cual escojamos).

                                                $\begin{array}{c}\sf{x = \dfrac{4\,y-1}{5}}\\\\\sf{x = \dfrac{4\,\left(\dfrac{23}{17}\right)-1}{5}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{x = \dfrac{15}{17}}}}}\end{array}$

⚠ La gráfica en la imagen solo es para comprobar nuestros resultados.

                                           $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$