Question

suponiendo que las orbitas de la tierra y la luna son aproximadamente circunferenciales,hallar la relacion entre las masas de la tierra y el sol ,se sabe que la luna da 13 vueltas alrededor de la tierra durante un año y que la distancia del sol a la tierra es de 390 veces mayor que la distancia de la luna a la tierra

Answer 1

la luna da una vuelta entera a la tierra 1/13 año,su periodo sera t₁=1/13

la  tierra demora en dar una vuelta al sol  un año ,osea que su periodo t₂=1año ,ademas R₂=390R₁

• analizamos la tierra y la luna

sea "m₁" la masa de la luna

sea "MT" la masa de la tierra

sea  "R₁" el radio de la trayectoria circular del satelite

la fuerza gravitacional  entre ellas es (F₁) y que es igual a la fuerza centripeta (Fcp) por el hecho de hacer una trayectoria circular

$F_{cp} =F_{g}_{1}\\\\m_{1}a_{cp}=G\dfrac{m_{1}M_{T}}{R_{1}^{2}}\\\\a_{cp}=G\dfrac{M_{T}}{R_{1}^{2}}\\\\\omega^{2}R_{1} =G\dfrac{M_{T}}{R_{1}^{2}}\\\\\omega^{2}=G\dfrac{M_{T}}{R_{1}^{3}}\\\\(\dfrac{2\pi}{t_{1}})^{2}=G\dfrac{M_{T}}{R_{1}^{3}}\\\\\dfrac{4\pi^{2}}{t_{1}^{2}}=G\dfrac{M_{T}}{R_{1}^{3}}\\\\t_{1}^{2}=\dfrac{4\pi^{2}R_{1}^{3}}{GM_{T}}$

• analizamos la tierra y el sol

sea "Ms" la masa del sol

sea "MT" la masa de la tierra

sea  "R₂" el radio de la trayectoria circular del satelite

la fuerza gravitacional  entre ellas es (F₂) y que es igual a la fuerza centripeta (Fcp) por el hecho de hacer una trayectoria circular

$F_{cp} =F_{g}_{1}\\\\M_{T}a_{cp}=G\dfrac{M_{S}M_{T}}{R_{2}^{2}}\\\\a_{cp}=G\dfrac{M_{S}}{R_{2}^{2}}\\\\\omega^{2}R_{2} =G\dfrac{M_{S}}{R_{2}^{2}}\\\\\omega^{2}=G\dfrac{M_{S}}{R_{2}^{3}}\\\\(\dfrac{2\pi}{t_{2}})^{2}=G\dfrac{M_{S}}{R_{2}^{3}}\\\\\dfrac{4\pi^{2}}{t_{2}^{2}}=G\dfrac{M_{S}}{R_{2}^{3}}\\\\t_{2}^{2}=\dfrac{4\pi^{2}R_{2}^{3}}{GM_{S}}$

si dividimos estas ecuaciones

$\dfrac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}=\dfrac{\dfrac{4\pi^{2}R_{1}^{3}}{GM_{T}}}{\dfrac{4\pi^{2}R_{2}^{3}}{GM_{S}}}\\\\\\\dfrac{t_{1}^{2}}{t_{2}^{2}}=\dfrac{M_{S}}{M_{T}}.\dfrac{R_{1}^{3}}{R_{2}^{3}}\\\\\\(\dfrac{\frac{1}{13}}{1})^{2}= \dfrac{M_{S}}{M_{T}}.\dfrac{R_{1}^{3}}{(390R_{1})^{3}}\\\\\\(\dfrac{1}{13})^{2}= \dfrac{M_{S}}{M_{T}}.\dfrac{1}{390^{3}}\\\\\dfrac{1}{169}= \dfrac{M_{S}}{M_{T}}.\dfrac{1}{390^{3}}\\\\\\351000=\dfrac{M_{S}}{M_{T}}\\\\\dfrac{M_{T}}{M_{S}}=2,85.10^{-6}$

autor: SmithValdez