Question

Suponiendo que a,b y c son constantes negativas, resolvemos la siguiente desigualdad
$|ax| + b < c$
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Answer 1

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RESPUESTA

$\boxed{ \text{Si:} \: \: b<c \: \: \: \: \: x \in \: \Bigr < \frac{c-b}{a} , \frac{b-c}{a} \Bigl > }$

$\boxed{ \text{Si:} \: \: b \geqslant c \: \: \: \: \: x \in \: \: \emptyset}$

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EXPLICACIÓN

Resolvemos la siguiente desigualdad

$|ax| + b < c$

$|ax| < c-b$

Cuando tenemos la siguiente desigualdad

$|x| < d$

Si "d" es un número positivo (d>0) entonces se cumple que: ........ (caso 1)

$-d < x < d$

Pero si "d" no es positivo osea si "d" es cero o negativo (d≤0) entonces:.... (caso 2)

$x \in \: \: \emptyset$

Regresando al ejercicio:

$|ax| < c-b$

Si consideramos el primer caso

$\implies \: c-b > 0 \: \implies \: b < c$

Entonces cuando b<c

$-(c-b) < ax< c-b$

$b-c < ax< c-b$

Dividir a todos los términos entre "a", pero se sabe que "a" es negativo , entonces los signos de desigualdad cambian

$\frac{b-c}{a} > \frac{ax}{a} > \frac{c-b}{a}$

$\frac{b-c}{a} > x> \frac{c-b}{a}$

Ordenamos:

$\frac{c-b}{a} < x < \frac{b-c}{a}$

Entonces cuando b<c

$x \in \: \Bigr < \frac{c-b}{a} , \frac{b-c}{a} \Bigl >$

Ahora consideramos el segundo caso:

$\implies \: c-b \leqslant 0 \: \implies \: b \geqslant c$

Entonces cuando b≥c

$ax \in \: \: \emptyset \: \: \: \: \: \: \implies \: \: \: \: \: x \in \: \: \emptyset$

Conclusión:

$\boxed{ \text{Si:} \: \: b<c \: \: \: \: \: x \in \: \Bigr < \frac{c-b}{a} , \frac{b-c}{a} \Bigl > }$

$\boxed{ \text{Si:} \:\: b \geqslant c \: \: \: \: \: x \in \: \: \emptyset}$