Question

Suponga que una partícula cae sobre un fluido viscoso. Su velocidad es acelerada por la acción de la gravedad, y después de un tiempo, la celeración llega a cero. Bajo experimentación, para el movimiento de esta partícula, se usa la fórmula v=kd^x μ^y g^z (ρ_p-ρ_f) , donde: [v=velocidad]=MLT^(-1), [k=constante]=1, [d=diametro]=L, [g=aceleración]=LT^(-2) , [μ=viscosidad]=ML^(-1) T^(-1), [ρ_p=densidad de la partícula]=ML^(-3) y [ρ_f=densidad del fluido]=ML^(-3). Encuentre los exponentes, x, y, z necesarios para completar esta fórmula.

Answer 1

Los exponentes,    x,  y,  z    necesarios para completar esta fórmula son:

x  =  19/2                y  =  4                z  =  -3/2

y la fórmula queda:

$\bold{v~=~k\cdot d^{\frac{19}{2}}\cdot \mu^{4}\cdot g^{-\frac{3}{2}}\cdot (\rho_{p}~-~\rho_{f})}$

Explicación:

Vamos a trabajar en base a la consistencia de las unidades, sustituyendo cada elemento presente en la ecuación por las unidades en las que se expresa:

$\bold{v~=~k\cdot d^{x}\cdot \mu^{y}\cdot g^{z}\cdot (\rho_{p}~-~\rho_{f})}$

Sustituyendo las unidades respectivas se obtiene:

$MLT^{-1}~=~(1)\cdot (L)^{x}\cdot (ML^{-1} T^{-1})^{y}\cdot (LT^{-2})^{z}\cdot (ML^{-3})$

Resolviendo por potencias de igual base:

$MLT^{-1}~=~(L)^{x}\cdot (M)^{y}\cdot(L)^{-y}\cdot (T)^{-y}\cdot (L)^{z}\cdot (T)^{-2z}\cdot (M)^{-3}\cdot(L)^{-3}\qquad\Rightarrow$

$MLT^{-1}~=~(L)^{x-y+z-3}\cdot (M)^{y-3}\cdot (T)^{-y-2z} \qquad\Rightarrow$

De aquí se obtiene un sistema de ecuaciones lineales, por igualación de los exponentes a ambos lados de la igualdad:

x  -  y  +  z  -  3  =  1

y  -  3  =  1

-y  -  2z  =  -1

De la segunda ecuación es fácil despejar  y:

y  -  3  =  1        ⇒        y  =  4

Sustituimos el valor de  y  en la tercera ecuación y se obtiene  z:

-(4)  -  2z  =  -1        ⇒        z  =  -3/2

Ahora se sustituye  y, z  en la primera ecuación y se obtiene  x:

x  -  (4)  +  (-3/2)  -  3  =  1        ⇒        x  =  19/2

Los exponentes,    x,  y,  z    necesarios para completar esta fórmula son:

x  =  19/2                y  =  4                z  =  -3/2

y la fórmula queda:

$\bold{v~=~k\cdot d^{\frac{19}{2}}\cdot \mu^{4}\cdot g^{-\frac{3}{2}}\cdot (\rho_{p}~-~\rho_{f})}$