Question

Suponga que un gerente debe elegir entre los dos modelos matemáticos siguientes de una situación determinada:
a.un modelo relativamente sencillo que es una aproximación razonable de la situación real y
b.un modelo minucioso y complejo que es la representación matemática más precisa posible de la situación real. ¿por qué el gerente prefiere el modelo descrito en el inciso a) !

Answer 1

1) El vector unitario λ en la dirección opuesta a u está dado por: 

λ = -(u)/(|u|) 

donde |u| es la magnitud de u, veamos: |u| = √( 2²+ 6²) = √(40) = 2√10, entonces 
λ = -(u)/(||u||) = -( 2i + 6j )/(2√10) = ( -√10i - 3√10j )/10 

2) Como son vectores unitarios λ₁, λ₂ ortogonales a u = i + j + k y a v = i - j - k 
entonces están dados por el producto cruz de u y v: 

i) λ₁ = ( u x v )/||u x v|| = ((i + j + k)x(i - j - k))/||(i + j + k)x(i - j - k)|| 
=( 2j - 2k)/||2j - 2k|| = ( 2j - 2k)/(√(2²+ (-2)²)) 
=( 2j - 2k)/(2√2) = j/√2 - k/√2 

ii) λ₂ = ( v x u )/||v x u||, pero recuerda que: v x u= -(u x v) y que 
||u x v|| = ||v x u||; entonces 

λ₂ = -( u x v )/||u x v|| = -λ₁ = -j/√2 + k/√2 

3) Dados los vectores u = 3i + 4j y v = i + αj 

a) Si u y v son ortogonales, entonces u•v = 0; veamos: 

u•v = (3i + 4j)•(i + αj) = 3 + 4α = 0 ⇒ α = -3/4 


b) Sabemos que si θ es el menor ángulo entre u y v, entonces: 

cosθ = ( u•v )/(||u||*||v||) 

Para este caso 

cos(π/4) = 1/√2 = (3 + 4α)/(5*(√(1 + α²)) 
⇒ 5√(1 + α²) = √2(3 + 4α) 
⇒ (5√(1 + α²))² = (√2(3 + 4α))² 
⇒ 25(1 + α²) = 2(3 + 4α)² = 2(9 + 24α + 16α²) 
⇒ 25 + 25α² = 18 + 48α + 32α² 
⇒ 7α² + 48α - 7 = 0 
⇒ α ∈ {1/7, -7} 

Sin embargo debes comprobar que sólo α = 1/7 satisface la ecuación inicial 

c) u y v son paralelos entonces: u = kv , con k un número real 
u = kv ⇒ 3i + 4j = k(i + αj) ⇒ 3i + 4j = ki + kαj ⇒ (3 = k) Λ (4 = kα) 
⇒ α = 4/3 

d) Igual que en el caso anterior (b) 

cos(π/3) = 1/2 = (3 + 4α)/(5*(√(1 + α²)) 
⇒ 5√(1 + α²) = 2(3 + 4α) 
⇒ (5√(1 + α²))² = (2(3 + 4α))² 
⇒ 25(1 + α²) = 4(3 + 4α)² = 4(9 + 24α + 16α²) 
⇒ 25 + 25α² = 36 + 96α + 64α² 
⇒ 39α² + 96α + 11= 0 
⇒ α ∈ {(-48 ± 25√3)/39} 

Sin embargo debes comprobar que sólo α = -48 - 25√3)/39 satisface la ecuación inicial 

4) Sean u = 2i + 3j y v = 6i - 4j; nota que: 

u•v = (2i + 3j)•(6i - 4j) = 12 - 12 = 0 ⇒ u,v son ortogonales 

Espero ser de ayuda