Question

Suponga que sale una pizza del horno a 400 °F y que la
cocina tiene una temperatura constante de 80 °F. Tres minutos después, la temperatura de la pizza es de 275 °F. A) ¿Cuál es la temperatura T1t2 de la pizza después de 5
minutos?
b) Determine el tiempo cuando la temperatura de la pizza es de 150 °F. C) Después de un tiempo muy largo, ¿cuál es la temperatura aproximada de la pizza?

Answer 1

1. La temperatura de la pizza después de 5 minutos es de 220.16 °F.
2. El tiempo cuando la temperatura de la pizza es de 150 °F será a los 9.2 minutos.
3. Después de un tiempo muy largo, la temperatura aproximada de la pizza será de 80 °F.

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton enuncia lo siguiente:

"La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo, es directamente proporcional a la temperatura de este con respecto a la temperatura ambiente".

Matemáticamente, esto se expresa como:

dT/dt = K*(T - Ta)

Donde,

• T: Temperatura del cuerpo
• Ta: Temperatura ambiente

La solución de esta ecuación diferencial es:

T(t) = Ta + B*e∧(kt)

Partiendo de esta última expresión, resolvemos:

Ta = 80 °F

Sustituimos:

T(t) = 80 + B*e∧(kt)

Suponga que sale una pizza del horno a 400 °F, en t = 0, T = 400 °F.

400 = 80 + B*e∧(k*0)

400 = 80 + B

Hallamos el valor de B:

B = 400 - 80

B = 320

Nos queda entonces:

T(t) = 80 + 320*e∧(kt)

Tres minutos después, la temperatura de la pizza es de 275 °F. En este caso t = 3, T = 275 °F.

275 = 80 + 320*e∧(k*3)

e∧(3k) = (275 - 80)/320

e∧(3k) = 195/320

e∧(3k) = 195/320

k = 1/3*Ln(195/320)

k = -0.1651

Con esto tenemos la expresión de la temperatura de la pizza en cualquier instante t.

T(t) = 80 + 320*e∧(-0.1651t)

• A) ¿Cuál es la temperatura de la pizza después de 5 minutos?

Sustituimos t = 5 minutos.

T(5) = 80 + 320*e∧(-0.1651*5)

T(5) = 220.16 °F

La temperatura de la pizza después de 5 minutos es de 220.16 °F.

• b) Determine el tiempo cuando la temperatura de la pizza es de 150 °F.

150 = 80 + 320*e∧(-0.1651t)

e∧(-0.1651t) = (150 - 80)/320

e∧(-0.1651t) = 7/32

t =  (-1/0.1651)*Ln(7/32)

t = 9.2 minutos

El tiempo cuando la temperatura de la pizza es de 150 °F será a los 9.2 minutos.

• C) Después de un tiempo muy largo, ¿cuál es la temperatura aproximada de la pizza?

Cuanto t → ∞

T(∞) = 80 + 320*e∧(-0.1651*∞)

T(∞) = 80 + 320*0

T(∞) = 80 °F

Después de un tiempo muy largo, la temperatura aproximada de la pizza será de 80 °F.

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