Question

Suponga que la poblacion P(t) de peces en un lago es atacada por una enfermedad en el instante t=0, con el resultado dP/dt=-k√P (k>0) Si inicialmente habia 900 peces en el lago y quedan 441 despues de 6 semanas, ¿Cuanto tiempo tardan en morir todos los peces del lago?

Answer 1

Al cabo de 20 semanas mueren todos los peces del lago.

Explicación paso a paso:

Teniendo la derivada podemos resolver la ecuación diferencial de variables separables para hallar la función P(t), queda:

$\frac{dP}{dt}=-k\sqrt{P}\\\\\frac{dP}{\sqrt{P}}=-k.dt$

Integramos en ambos miembros:

$\int\limits^{}_{} {\frac{1}{\sqrt{P}}} \, dP =\int\limits^{}_{} {-k} \, dt \\\int\limits^{}_{} {P^{-1/2}} \, dP =-k.t +C_1\\2\sqrt{P}+C_2 =-k.t +C_1\\\\4P=(C-kt)^2\\\\P=\frac{C^2-2Ckt+k^2t^2}{4}$

En t=0 hay 900 peces, queda:

$P(0)=\frac{C^2}{4}=900\\\\C=\sqrt{4.900}=60$

Y a las 6 semanas quedan 441 peces:

$P(6)=441=\frac{60^2-2.60.k.6+k^2.6^2}{4}=\frac{(60-k.6)^2}{4}\\\\\sqrt{4.441}=60-6k\\\\42=60-6k\\\\k=3$

La función queda:

$P(t)=\frac{(60-3t)^2}{4}$

La igualamos a 0 para hallar el tiempo que tardan en morir todos los peces del lago:

$\frac{(60-3t)^2}{4}=0\\\\60-3t=0\\\\t=20$