Suponga que k es un número real para el cual la gráfica de la función f(x)=x^4 x^3-kx tiene un eje de simetría vertical. Se sabe que k se puede expresar como a/b donde son enteros positivos coprimos. Determine el valor de a b
Respuestas a la pregunta
a y b son 1 y 8 respectivamente
Para poder determinar esto, simplemente debemos hallar el eje de simetría x0 y relacionarlo con k.
Una cosa importante a saber es que como la función es un polinomio de 4to grado, su eje de simetría es un máximo local, es decir
f'(x0) = 0
f''(x0) < 0,
Por lo que si derivamos f tenemos
f'(x) = 4x³ + 3x² - k
4x0³ + 3x0² - k = 0
k = 4x0³ + 3x0² = [4x0 + 3]x0²
Aquí hemos obtenido la relación entre k y x0; si volvemos a derivar f, tenemos que
f''(x) = 12x + 6x ⇒ 6x(2x+1)
Por lo tanto
6x0( 2x0 + 1) < 0
x0(2x0 + 1) < 0
Esto se logra cuando x0 ∈ [-1/2, 0]
Ahora bien, x0 es el punto medio entre -0.5 y 0 (es decir -1/4) pues es el vértice de la parábola 12x² + 6x, entonces, tenemos
x0 = -1/4
k = (-1/4)²[ 4(-1/4) + 3 ] = (1/4)²(3 - 1) = 2/16 = 1/8
Por lo tanto, como k se puede escribir como una fracción de la forma a/b, es decir, a = 1 y b = 8