Question

Supón que los sismografos ubicados en las coordenadas A(1000.-2000), B(500-1000) y CC-1000,-1000) dadas en
kilómetros, detectaron la misma intensidad de una onda sismica.
. Considera que las ondas sísmicas se propagaron en forma circular y determinalas coordenadas del epicentro.
Silas ondas sísmicas longitudinales (primeras en llegar) se propagaron en promedio a 4 km/s, estima el tiempo
que pasó para que el sismo fuera detectado en el origen del sistema de referencia.​

Answer 1

El epicentro de este terremoto está en las coordenadas (-250,-2000)km, a los 8,4 minutos de producido el sismo, este pudo ser detectado en el origen del sistema de referencia.

Explicación:

Si los frentes de onda son circulares y los sismógrafos ubicados en A(1000,-2000), B(500,-1000) y C(-1000,-1000) midieron la misma intensidad, quiere decir que dichos puntos equidistan del epicentro, es decir son tres puntos de una circunferencia centrada en el epicentro. La ecuación de la circunferencia es:

$x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$

Si reemplazamos los tres puntos propuestos (expresados en miles de km) en esa ecuación tenemos:

$1^2+(-2)^2+A.1-2.B+C=0\\(0,5)^2+(-1)^2+A.(0,5)+B(-1)+C=0\\(-1)^2+(-1)^2+A.(-1)+B(-1)+C=0\\\\5+A-2B+C=0\\1,25+0,5A-B+C=0\\2-A-B+C=0\\\\A-2B+C=-5\\0,5A-B+C=-1,25\\-A-B+C=-2$

Queda resolver el sistema de ecuaciones, si restamos la segunda ecuación con la tercera nos queda:

$0,5A-B+C=-1,25\\-A-B+C=-2\\\\0,5A+A=-1,25+2\\\\A=0,5$

Si multiplicamos la segunda ecuación por 2 y se la restamos a la primera queda:

$A-2B+C=-5\\A-2B+2C=-2,5\\\\C-2C=-5+2,5\\C=2,5$

Y si restamos la primera con la tercera queda:

$A-2B+C=-5\\-A-B+C=-2\\\\2A-B=-3\\2.0,5-B=-3\\B=4$

Si desarrollamos la ecuación canónica de la circunferencia encontramos que es:

$A=-2x_0\\B=-2y_0$

Siendo x0 e y0 las coordenadas del epicentro. Nos queda:

$x_0=-\frac{A}{2}=-\frac{0,5}{2}=-0,25=> x_0=-250km\\y_0=-\frac{B}{2}=-\frac{4}{2}=-2=>y_0=-2000km$

Concluyendo que las coordenadas del epicentro son (-250,-2000)km.

Punto que está situado a la siguiente distancia del origen del sistema de referencia:

$d=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{(250km)^2+(2000km)^2}=2016km$

Por ende si las ondas se propagan a 4 kilómetros por segundo, el tiempo que tardarían en ser detectadas en el origen es:

$d=vt\\\\t=\frac{d}{t}=\frac{2016km}{4\frac{km}{s}}=504s=8,4min$