Question

Supón que el ahorro fuera mensual con un incremento del 10% mes a mes. Si en enero Miguel y su esposa ahorran S/ 200, ¿cuánto ahorrarán en total en 6 meses?

a. ¿Cuánto ahorrarán en total en 6 meses?

Primero debes Hallar el término general
Para responder a la pregunta debes hallar la suma de los 6 términos:​

Answer 1

     PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS (P.G.)

Sabemos que este tipo de progresiones se caracterizan porque cada término se calcula multiplicando el anterior por un número constante llamado razón "r".

Para este ejercicio tenemos los siguientes datos:

Primer término de la PG ... a₁ = 200 soles que es lo que ahorran el primer mes.

Para obtener el término general que representa a esta PG nos falta saber la razón y para ello hay que conocer un poco de la forma en que se comportan los porcentajes, veamos:

Cuando hablamos de que cada mes se incrementa un 10% sobre el mes anterior significa que a la cantidad inicial de 200 soles se le debe sumar su 10%,  que es 20,  de tal modo que el segundo mes (febrero) ahorrarán  200+20 = 220 soles, ok?

Y ahora viene la pregunta:

¿Cómo me lo arreglo para conseguir un número que represente la razón de esta PG?

Pues hay que pensar que cada cantidad a la que se le aplica un 10%, en realidad lo que hacemos es aumentar  1,1 veces dicha cantidad teniendo en cuenta que la cantidad inicial es el porcentaje "base", es decir, el 100%, y añadimos un 10% más convirtiéndose en un 110%.

Otra pregunta:

¿Por qué es 1,1 veces? ¿De dónde sale eso?

Efectuando la operación que representa un 110% lo que se hace es dividir 110 entre 100 de tal modo que nos queda 1,1 y esa es la razón de esta PG.

Obtenida la razón, se acude a la fórmula general de cualquier PG que dice:  $a_n=a_1\times r^{n-1}$

Sustituyo  "a₁"  y  "r" y tengo esto:

$\boxed{\bold{a_n=200\times 1,1^{n-1}}}$

Y ahí tenemos el término general de esta PG que sustituyendo "n" por cualquier número que represente el lugar que ocupe un término concreto, nos dará el valor de dicho término, así que usando dicha fórmula y para que sirva de ejemplo, voy a calcular el valor del término nº 6 :

Lo que hago para saber ese valor es sustituir "n" por 6 :

$a_6=200\times 1,1^{6-1}=200\times 1,1^5=200\times1,61051=322,102\ soles$

Esa es la cantidad que ahorraron ese sexto mes

Pero en realidad, para llegar a la solución    (cuánto ahorrarán sumando lo ahorrado en los 6 meses)    no es necesario saber el término general,  aunque en este ejercicio te lo pide,   ya que disponemos de la fórmula que nos lo calcula en función del valor del primer término (a₁ = 200), de la razón (r = 1,1) y del nº de términos (n = 6), referidos a los 6 meses.

Dicha fórmula dice:

$S_n=a_1\times \dfrac{r^{n}\ -1 }{r-1}$

Sustituyo datos:

$S_6=200\times \dfrac{1,1^{6}\ -1 }{1,1-1} =\dfrac{200\times 1,771561\ -1}{0,1} =\dfrac{353,3122}{0,1}= 3.533,122\ soles$

En 6 meses ahorrarán 3.533,122 soles