Question

supón q tienes un pentágono y un hexágono de igual apotema
¿cual de los polígonos tiene mayor área? ¿pq?
¿cual d ellos polígonos tiene mayor perímetro? ¿pq?

Answer 1

Para empezar recuerda que un pilígono a partir de 5 lados tiene la misma formula para sacar su área (perimetro por apotema entre dos  p(a)/2)
Sabiendo esto... el hexágono tiene 6 lados, mientras que el pentagono tiene 5
Por lo que el hexagono tiene mayor perimetro y mayor área debido a que tiene 1 lado mas que el hexágono

Answer 2

Solución:

Área = perímetro × apotema / 2
Perímetro = numero de lados de polígono × lado de polígono

Área pentágono = 5 × lado pentágono × apotema pentágono / 2
Área hexágono = 6 × lado hexágono × apotema hexágono / 2

apotema pentágono = apotema hexágono = a

Área pentágono = 5 × lado pentágono × a / 2
Área hexágono = 6 × lado hexágono × a / 2

Se consideran polígonos regulares :

angulo interno pentágono = 360°/ 5 = 72°
el apotema divide al angulo 72° en la mitad
utilizar triangulo notable de 36°

angulo interno hexágono = 360°/ 6 = 60°
el apotema divide al angulo 60° en la mitad
utilizar triangulo notable de 30°

a /(lado pentágono/2) =  (√5 + 1) / √(10 - 2√5)
lado pentágono = 2a√(10 - 2√5) / (√5 + 1)

a /(lado hexágono/2) =  (√3 / 1)
lado hexágono = 2a / √3

Área pentágono = 5 × (2a√(10 - 2√5) / (√5 + 1)) × a / 2
Área pentágono = 5 × a² × √(10 - 2√5) / (√5 + 1)
Área pentágono = 5 × a² × 2.3511 / 3.236
Área pentágono = 5 × a² × 0.7265
Área pentágono = 3.6327 a² 

Área hexágono = 6 × (2a / √3) × a / 2
Área hexágono = 6 × a² / √3 
Área hexágono = 6 × a² / 1.732
Área hexágono = 6 × a² / 1.732
Área hexágono = 3.4642 a² 

Área pentágono > Área hexágono

Perímetro = numero de lados de polígono × lado de polígono

Perímetro pentágono = 5 × 2a√(10 - 2√5) / (√5 + 1)
Perímetro pentágono = 10a × √(10 - 2√5) / (√5 + 1)
Perímetro pentágono = 10a × 0.7265
Perímetro pentágono = 7.265 a

Perímetro hexágono = 6 × 2a / √3
Perímetro hexágono = 12a / √3
Perímetro hexágono = 12a / 1.732
Perímetro hexágono = 6.9284 a 

Perímetro pentágono > Perímetro hexágono