Question

Sumas de Riemann
1. Aproxime la integral definida ∫_2^5(x2-4x+4)dx, mediante la suma de Riemann del punto derecho, con =6. 2. Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para =6, =14 y compara con el resultado de la integral definida. 3. Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. 4. ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Answer 1

Respuesta:

. Calcular las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:

a) f(x) = [x] en [0, n], con n ∈ N.

b) f(x) = [x]

2 en [0, n], con n ∈ N.

c) f(x) = [x

2

] en [0, 2].

d) f(x) = [√

x] en [0, 9].

e) f(x) = [e

x

] en [0, 2].

Soluci´on

a) Como f(x) = k cuando x ∈ [k, k + 1), donde k = 0, 1, . . . , n − 1, se trata de una funci´on

escalonada. Por tanto, su integral vale:

Z n

0

[x] dx =

nX−1

k=0

k · 1 = 1 + 2 + · · · + (n − 1) = n(n − 1)

2

.

b) An´alogamente al caso anterior, tenemos una funci´on escalonada que toma los valores f(x) =

k

2

en los intervalos x ∈ [k, k + 1), con k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces,

Z n

0

[x]

2

dx =

nX−1

k=0

k

2 = 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 =

n(n − 1)(2n − 1)

6

,

resultado que se puede probar por inducci´on (ver cap´ıtulo 1).

c) En primer lugar debemos determinar los sub-intervalos de [0, 2] donde la funci´on es constante.

Estos son los siguientes:

0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤ x

2 < 1 =⇒ [x

2

] = 0;

1 ≤ x < √

2 =⇒ 1 ≤ x

2 < 2 =⇒ [x

2

] = 1;

√

2 ≤ x < √

3 =⇒ 2 ≤ x < 3 =⇒ [x

2

] = 2;

√

3 ≤ x < 2 =⇒ 3 ≤ x

2 < 4 =⇒ [x

2

] = 3.

La integral se puede descomponer entonces en la suma siguiente:

Z 2

0

[x

2

] dx = 1 · (

√

2 − 1) + 2 · (

√

3 −

√

2) + 3 · (2 −

√

3) = 5 −

√

2 −

√

3. ) Descomponemos nuevamente el intervalo de integraci´on en sub-intervalos donde la funci´on

sea constante:

0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤

√

x < 1 =⇒ [

√

x] = 0;

1 ≤ x < 4 =⇒ 1 ≤

√

x < 2 =⇒ [

√

x] = 1;

4 ≤ x < 9 =⇒ 2 ≤

√

x < 3 =⇒ [

√

x] = 2.

La integral es ahora

Z 3

0

[

√

x] dx = 1 · (4 − 1) + 2 · (9 − 4) = 13.

e) Como es tambi´en una funci´on parte entera, es escalonada; los intervalos donde es constante

son los siguientes:

0 ≤ x < ln 2 =⇒ 1 ≤ e

x < 2 =⇒ [e

x

] = 1;

ln 2 ≤ x < ln 3 =⇒ 2 ≤ e

x < 3 =⇒ [e

x

] = 2;

ln 3 ≤ x < ln 4 =⇒ 3 ≤ e

x < 4 =⇒ [e

x

] = 3;

.

.

.

ln 7 ≤ x < 2 =⇒ 7 ≤ e

x < e2 =⇒ [e

x

] = 7.

(T´engase en cuenta que el intervalo de integraci´on es [0, 2] y ln 7 < 2 < ln 8.)

La integral es la siguiente:

Z 2

0

[e

x

] dx =

X

6

k=1

k · [ln(k + 1) − ln k] + 7 · (2 − ln 7)

= 6 · ln 7 − ln 6 − ln 5 − · · · − ln 2 + 14 − 7 · ln 7 = 14 − ln(7!).

2. Calcular la integral Z b

a

|x|

x

dx, donde a < b.

Soluci´on

La funci´on integrando es escalonada porque |x|

x

=

(

1 si x > 0

−1 si x < 0

. Podemos distinguir tres casos:

i) a < b ≤ 0: Z b

a

|x|

x

dx = (−1) · (b − a) = a − b.

ii) a < 0 ≤ b: descomponemos la integral en dos sumandos. As´ı:

Z b

a

|x|

x

dx =

Z 0

a

|x|

x

dx +

Z b

0

|x|

x

dx = (−1) · (0 − a) + 1 · (b − 0) = a + b.

iii) 0 ≤ a < b:

Z b

a

|x|

x

dx = 1 · (b − a) = b − a.

3. Hallar I(f, P) y S(f, P) en los siguientes casos:

a) f(x) = √

x, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/25, 4/25, 9/25, 16/25,b) f(x) = x

2

, x ∈ [−1, 1], P = {−1, −1/4, 1/4, 1/2, 1}.

Soluci´on

a) Como la funci´on es creciente, el ´ınfimo se alcanza en el extremo izquierdo y el supremo en

el extremo derecho de cada subintervalo de P. De esta forma,

I(f, P) = 1/25 · f(0) + (4/25 − 1/25) · f(1/25) + (9/25 − 4/25) · f(4/25)

+(16/25 − 9/25) · f(9/25) + (1 − 16/25) · f(16/25)

= 3/25 · 1/5 + 5/25 · 2/5 + 7/25 · 3/5 + 9/25 · 4/5 = 14/25;

S(f, P) = 1/25 · f(1/25) + (4/25 − 1/25) · f(4/25) + (9/25 − 4/25) · f(9/25)

+(16/25 − 9/25) · f(16/25) + (1 − 16/25) · f(1)

= 1/25 · 1/5 + 3/25 · 2/5 + 5/25 · 3/5 + 7/25 · 4/5 + 9/25 · 1 = 19/25.

b) La funci´on y = x

2

es decreciente cuando x ∈ (−1, 0) y creciente cuando x ∈ (0, 1). Adem´as

en el intervalo (−1/4, 1/4), el ´ınfimo de la funci´on se alcanza cuando x = 0 y el supremo

cuando x = 1/4. Por tanto, en este caso tenemos:

I(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1/4) + (1/4 + 1/4) · f(0) + (1/2 − 1/4) · f(1/4)

+(1 − 1/2) · f(1/2)

= 3/4 · 1/16 + 1/2 · 0 + 1/4 · 1/16 + 1/2 · 1/4 = 3/16;

S(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1) + (1/4 + 1/4) · f(1/4) + (1/2 − 1/4) · f(1/2)

+(1 − 1/2) · f(1) = 3/4 · 1 + 1/2 · 1/16 + 1/4 · 1/4 + 1/2 · 1 = 43/32.

Como se puede observar, en ambos casos se verifica que I(f, P) ≤ S(f, P), lo cual es siempre

cierto.

4. Dada la funci´on f(x) = 1 + 2x, si P = {x0, x1, . . . , xn} es una partici´on regular de [a, b],

calcular I(f, P) y S(f, P). Utilizar lo anterior para calcular Z b

a

(1 + 2x) dx.

Soluci´on

Como la funci´on y = 1 + 2x es creciente, el ´ınfimo en cada subintervalo (xi−1, xi) se alcanza en

xi−1 y el supremo se alcanza en xi

. Adem´as, por tratarse de una partici´on regular, los puntos

son equidistantes y

xi − xi−1 =

b − a

n

, xi = a + i

b − a

n

, ∀i = 1, . . . , n. De este modo, por definici´on:

I(f, P) = Xn

i=1

(xi − xi−1) · f(xi−1) = Xn

i=1

b − a

n

· (1 + 2xi−1)

=

b − a

n

Xn

i=1

1 + 2Xn

i=1

a + (i − 1) ·

b − a

n

!

=

b − a

n

n + 2an + 2

b − a

n

Xn

i=1

(i − 1)!

= (b − a) + 2a(b − a) + 2

b − a

n

2

·

n(n − 1)

2

= (b − a)

1 + 2a +

(b − a)(n − 1)

n

S(f, P) = Xn

i=1

(xi − xi−1) · f(xi) = Xn

i=1

b − a

n

· (1 + 2xi)

=

b − a

n

Xn

i=1

1 + 2Xn

i=1

a + i ·

b − a

n

!

=

b − a

n

n + 2an + 2

b − a

n

Xn

i=1

i

!

= (b − a) + 2a(b − a) + 2

b − a

n

2

·

n(n + 1)

2

= (b − a)

1 + 2a +

(b − a)(n + 1)

n

creo que es así

espero que sirva no