Sumas de Riemann
1. Aproxime la integral definida ∫_2^5(x2-4x+4)dx, mediante la suma de Riemann del punto derecho, con =6. 2. Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para =6, =14 y compara con el resultado de la integral definida. 3. Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior. 4. ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
. Calcular las integrales de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:
a) f(x) = [x] en [0, n], con n ∈ N.
b) f(x) = [x]
2 en [0, n], con n ∈ N.
c) f(x) = [x
2
] en [0, 2].
d) f(x) = [√
x] en [0, 9].
e) f(x) = [e
x
] en [0, 2].
Soluci´on
a) Como f(x) = k cuando x ∈ [k, k + 1), donde k = 0, 1, . . . , n − 1, se trata de una funci´on
escalonada. Por tanto, su integral vale:
Z n
0
[x] dx =
nX−1
k=0
k · 1 = 1 + 2 + · · · + (n − 1) = n(n − 1)
2
.
b) An´alogamente al caso anterior, tenemos una funci´on escalonada que toma los valores f(x) =
k
2
en los intervalos x ∈ [k, k + 1), con k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces,
Z n
0
[x]
2
dx =
nX−1
k=0
k
2 = 12 + 22 + · · · + (n − 1)2 =
n(n − 1)(2n − 1)
6
,
resultado que se puede probar por inducci´on (ver cap´ıtulo 1).
c) En primer lugar debemos determinar los sub-intervalos de [0, 2] donde la funci´on es constante.
Estos son los siguientes:
0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤ x
2 < 1 =⇒ [x
2
] = 0;
1 ≤ x < √
2 =⇒ 1 ≤ x
2 < 2 =⇒ [x
2
] = 1;
√
2 ≤ x < √
3 =⇒ 2 ≤ x < 3 =⇒ [x
2
] = 2;
√
3 ≤ x < 2 =⇒ 3 ≤ x
2 < 4 =⇒ [x
2
] = 3.
La integral se puede descomponer entonces en la suma siguiente:
Z 2
0
[x
2
] dx = 1 · (
√
2 − 1) + 2 · (
√
3 −
√
2) + 3 · (2 −
√
3) = 5 −
√
2 −
√
3. ) Descomponemos nuevamente el intervalo de integraci´on en sub-intervalos donde la funci´on
sea constante:
0 ≤ x < 1 =⇒ 0 ≤
√
x < 1 =⇒ [
√
x] = 0;
1 ≤ x < 4 =⇒ 1 ≤
√
x < 2 =⇒ [
√
x] = 1;
4 ≤ x < 9 =⇒ 2 ≤
√
x < 3 =⇒ [
√
x] = 2.
La integral es ahora
Z 3
0
[
√
x] dx = 1 · (4 − 1) + 2 · (9 − 4) = 13.
e) Como es tambi´en una funci´on parte entera, es escalonada; los intervalos donde es constante
son los siguientes:
0 ≤ x < ln 2 =⇒ 1 ≤ e
x < 2 =⇒ [e
x
] = 1;
ln 2 ≤ x < ln 3 =⇒ 2 ≤ e
x < 3 =⇒ [e
x
] = 2;
ln 3 ≤ x < ln 4 =⇒ 3 ≤ e
x < 4 =⇒ [e
x
] = 3;
.
.
.
ln 7 ≤ x < 2 =⇒ 7 ≤ e
x < e2 =⇒ [e
x
] = 7.
(T´engase en cuenta que el intervalo de integraci´on es [0, 2] y ln 7 < 2 < ln 8.)
La integral es la siguiente:
Z 2
0
[e
x
] dx =
X
6
k=1
k · [ln(k + 1) − ln k] + 7 · (2 − ln 7)
= 6 · ln 7 − ln 6 − ln 5 − · · · − ln 2 + 14 − 7 · ln 7 = 14 − ln(7!).
2. Calcular la integral Z b
a
|x|
x
dx, donde a < b.
Soluci´on
La funci´on integrando es escalonada porque |x|
x
=
(
1 si x > 0
−1 si x < 0
. Podemos distinguir tres casos:
i) a < b ≤ 0: Z b
a
|x|
x
dx = (−1) · (b − a) = a − b.
ii) a < 0 ≤ b: descomponemos la integral en dos sumandos. As´ı:
Z b
a
|x|
x
dx =
Z 0
a
|x|
x
dx +
Z b
0
|x|
x
dx = (−1) · (0 − a) + 1 · (b − 0) = a + b.
iii) 0 ≤ a < b:
Z b
a
|x|
x
dx = 1 · (b − a) = b − a.
3. Hallar I(f, P) y S(f, P) en los siguientes casos:
a) f(x) = √
x, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/25, 4/25, 9/25, 16/25,b) f(x) = x
2
, x ∈ [−1, 1], P = {−1, −1/4, 1/4, 1/2, 1}.
Soluci´on
a) Como la funci´on es creciente, el ´ınfimo se alcanza en el extremo izquierdo y el supremo en
el extremo derecho de cada subintervalo de P. De esta forma,
I(f, P) = 1/25 · f(0) + (4/25 − 1/25) · f(1/25) + (9/25 − 4/25) · f(4/25)
+(16/25 − 9/25) · f(9/25) + (1 − 16/25) · f(16/25)
= 3/25 · 1/5 + 5/25 · 2/5 + 7/25 · 3/5 + 9/25 · 4/5 = 14/25;
S(f, P) = 1/25 · f(1/25) + (4/25 − 1/25) · f(4/25) + (9/25 − 4/25) · f(9/25)
+(16/25 − 9/25) · f(16/25) + (1 − 16/25) · f(1)
= 1/25 · 1/5 + 3/25 · 2/5 + 5/25 · 3/5 + 7/25 · 4/5 + 9/25 · 1 = 19/25.
b) La funci´on y = x
2
es decreciente cuando x ∈ (−1, 0) y creciente cuando x ∈ (0, 1). Adem´as
en el intervalo (−1/4, 1/4), el ´ınfimo de la funci´on se alcanza cuando x = 0 y el supremo
cuando x = 1/4. Por tanto, en este caso tenemos:
I(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1/4) + (1/4 + 1/4) · f(0) + (1/2 − 1/4) · f(1/4)
+(1 − 1/2) · f(1/2)
= 3/4 · 1/16 + 1/2 · 0 + 1/4 · 1/16 + 1/2 · 1/4 = 3/16;
S(f, P) = (1 − 1/4) · f(−1) + (1/4 + 1/4) · f(1/4) + (1/2 − 1/4) · f(1/2)
+(1 − 1/2) · f(1) = 3/4 · 1 + 1/2 · 1/16 + 1/4 · 1/4 + 1/2 · 1 = 43/32.
Como se puede observar, en ambos casos se verifica que I(f, P) ≤ S(f, P), lo cual es siempre
cierto.
4. Dada la funci´on f(x) = 1 + 2x, si P = {x0, x1, . . . , xn} es una partici´on regular de [a, b],
calcular I(f, P) y S(f, P). Utilizar lo anterior para calcular Z b
a
(1 + 2x) dx.
Soluci´on
Como la funci´on y = 1 + 2x es creciente, el ´ınfimo en cada subintervalo (xi−1, xi) se alcanza en
xi−1 y el supremo se alcanza en xi
. Adem´as, por tratarse de una partici´on regular, los puntos
son equidistantes y
xi − xi−1 =
b − a
n
, xi = a + i
b − a
n
, ∀i = 1, . . . , n. De este modo, por definici´on:
I(f, P) = Xn
i=1
(xi − xi−1) · f(xi−1) = Xn
i=1
b − a
n
· (1 + 2xi−1)
=
b − a
n
Xn
i=1
1 + 2Xn
i=1
a + (i − 1) ·
b − a
n
!
=
b − a
n
n + 2an + 2
b − a
n
Xn
i=1
(i − 1)!
= (b − a) + 2a(b − a) + 2
b − a
n
2
·
n(n − 1)
2
= (b − a)
1 + 2a +
(b − a)(n − 1)
n
S(f, P) = Xn
i=1
(xi − xi−1) · f(xi) = Xn
i=1
b − a
n
· (1 + 2xi)
=
b − a
n
Xn
i=1
1 + 2Xn
i=1
a + i ·
b − a
n
!
=
b − a
n
n + 2an + 2
b − a
n
Xn
i=1
i
!
= (b − a) + 2a(b − a) + 2
b − a
n
2
·
n(n + 1)
2
= (b − a)
1 + 2a +
(b − a)(n + 1)
n
creo que es así
espero que sirva no