Question

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas. Por favor gracias

y^(´´)-y^´+y=2 sin⁡3x

y^(´´)-y^´+y=2 sin⁡3x

Answer 1

1. Resolver la EDO homogénea asociada

$y''-y'+y=0\\\text{Ecuaci\'on asociada: }r^2-r+1=0\\ \\r=\dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\\ \\ \\y_h=e^{x/2}\left(C_1 \cos \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+C_2 \sin \dfrac{\sqrt{3}}{2}x \right)$

2. Encontremos la solución particular, asumiendo que la solución tiene la forma

$y=u_1(x) e^{x/2}\cos \dfrac{\sqrt3}{2}x+u_2(x) e^{x/2}\sin \dfrac{\sqrt3}{2}x$

Para ellos veamos es Wronskiano

$W(x)=\left[\begin{matrix}e^{x/2}\cos \frac{\sqrt3}{2}x&e^{x/2}\sin \frac{\sqrt3}{2}x\\\frac{e^{x/2}}{2}(\cos\frac{\sqrt3}{2}x-\sqrt3\sin\frac{\sqrt3}{2}x)&\frac{e^{x/2}}{2}(\cos\frac{\sqrt3}{2}x-\sqrt3\sin\frac{\sqrt3}{2}x)\end{matrix}\right] \\ \\ \\ \det W=\dfrac{\sqrt3}{2}e^x$

$W_1(x)=\left[\begin{matrix}0&e^{x/2}\sin \frac{\sqrt3}{2}x\\2\sin 3x&\frac{e^{x/2}}{2}(\cos\frac{\sqrt3}{2}x-\sqrt3\sin\frac{\sqrt3}{2}x)\end{matrix}\right]\\ \\ \\\det W_1=-2e^{x/2}\sin(3x)\sin \dfrac{\sqrt3}{2}x$

$W_2(x)=\left[\begin{matrix}e^{x/2}\cos \frac{\sqrt3}{2}x&0\\\frac{e^{x/2}}{2}(\cos\frac{\sqrt3}{2}x-\sqrt3\sin\frac{\sqrt3}{2}x)&2\sin(3x)\end{matrix}\right]\\ \\ \\\det W_2=2e^{x/2}\sin (3x)\cos\dfrac{\sqrt3}{2}x$

$\displaystyle\\u_1=\int \dfrac{\det W_1}{\det W}dx=-\dfrac{4\sqrt3}{3}\int e^{-x/2}\sin(3x)\sin\dfrac{\sqrt3}{2}x\,dx\\ \\ \\u_2=\int \dfrac{\det W_2}{\det W}dx=\dfrac{4\sqrt3}{3}\int e^{-x/2}\sin(3x)\cos\dfrac{\sqrt3}{2}x\,dx$

Entonces la solución general es

$y=y_h+y_p\\ \\y= e^{x/2}\left(C_1 \cos \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+C_2 \sin \dfrac{\sqrt{3}}{2}x \right)+e^{x/2}\left(u_1 \cos \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+u_2 \sin \dfrac{\sqrt{3}}{2}x \right)$

Las integrales de arriba son de largo cálculo, eso lo dejo para Ud.