Question

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas

Answer 1

1. Resolver la EDO homogénea asociada

$\dfrac{3}{2}y_h''+\dfrac{9}{2}y'_h+3y_h=0\\ \\ \\\text{Ecuaci\'on polin\'omica asociada: }\dfrac{3}{2}r^2+\dfrac{9}{2}r+3=0\\ \\ \\r^2+3r+2=0\iff (r+1)(r+2)=0 \to r\in\{-2,-1\}\\ \\\\y_h=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$

2. Luego hallemos la solución particular asumiendo que la solución es

                          $y=u_1(x)e^{-2x}+u_2(x)e^{-x}$

Note que la EDO original se puede escribir de esta forma

                 $y''+3y'+2y=\dfrac{2}{3}\sin e^x$

Hallemos W(x) (Wronskiano)

$W(x)=\left[\begin{matrix}e^{-2x}&e^{-x}\\-2e^{-2x}&-e^{-x}\end{matrix}\right]  \to \det W = e^{-3x}\\ \\ \\W_1(x)=\left[\begin{matrix}0&e^{-x}\\\dfrac{2}{3}\sin e^{x}&-e^{-x}\end{matrix}\right]  \to \det W_1 = -\dfrac{2}{3}e^{-x}\sin e^{x}\\ \\ \\W_2(x)=\left[\begin{matrix}e^{-2x}&0\\-2e^{-2x}&\dfrac{2}{3}\sin e^x\end{matrix}\right]  \to \det W_2 = \dfrac{2}{3}e^{-2x}\sin{e^x}\\ \\\displaystyle \\u_1(x)=\int \dfrac{\det W_1}{\det W}dx=\dfrac{2}{3}\int -e^{2x}\sin e^{x} dx=\dfrac{2}{3}(e^x\cos e^x-\sin e^x)$

$\displaystyle\,\\u_2(x)=\int \dfrac{\det W_2}{\det W}dx=\dfrac{2}{3}\int e^x \sin e^x dx=-\dfrac{2}{3}\cos e^x$

Entonces la solución particular es

$y_p=\dfrac{2}{3}(e^x\cos e^x-\sin e^x)e^{-2x}+(-\dfrac{2}{3}\cos e^x)e^{-x}\\ \\y_p=-\dfrac{2}{3}e^{-2x}\sin e^x\\ \\\text{As\'i la soluci\'on es }y=y_h+y_p\\ \\ \\\boxed{y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}-\dfrac{2}{3}e^{-2x}\sin e^x}$