Question

Solución Ecuaciones Diferenciales con transformada de Laplace. y^''-2y^'=e^t sin⁡t;y(0)=0,y'(0)=0.

Answer 1

Las simplificaciones algebraicas son un tanto extensas por lo que las voy a omitir.

L = Símbolo de transformada de Laplace

Se sabe que L(y'') = s² L(y) - s yo - y'o

L(y') = s L(y) - yo

Según tablas de transformadas:

L(e^t sint) = 1 / [(s - 1)² + 1]

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, aplicamos al transformada a la ecuación diferencial.

s² L(y) - 2 s L(y) = 1 / [(s - 1)² + 1]

L(y) (s² - 2 s) = 1 / [(s - 1)² + 1]

L(y) = 1 / [(s - 1)² + 1] . 1 / (s² - 2 s)

Esta fracción debe ser descompuesta en fracciones simples. Estas operaciones van a ser omitidas.

L(y) = - 1/2 . 1 / [(s - 1)² + 1] + 1/4 . 1 / (s - 2) - 1/4 . 1 / s

Recurrimos a tablas de anti transformadas.

y(t) = - 1/2 e^t sin(t) + 1/4 e^(2 t) - 1/4

Mateo