SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE
y^´´-4y=sen (t) ;y(0)=1,y^'(0)= -1
Respuestas a la pregunta
La solución a la ecuación diferencial, tomando en cuenta que y(0)=1 y'(0)=-1 es:
Para poder resolver esta ecuación, debemos aplicar la transformada de Laplace, por lo que tendremos que:
Al tener la nueva ecuación, debemos despejar Y(S), para luego aplicar la anti transformada y obtener el resultado deseado:
Es importante que trabajemos la solución por cada término, a fin de evitar confusión y de tener el resultado deseado:
Para el primer término, debemos descomponer la fracción en suma de fracciones:
Procedemos a determinar loos valores de A, B, C y D. Si sumamos las fracciones y factorizamos el denomidador, podremos hallar los valores, tomando en cuenta que solo hay un valor en el término independiente en los demás el coeficiente es 0. De aquí tendremos 4 ecuaciones para hallar los valores:
- A+C=0
- 4A+C=0
- B+D=0
- 4B+D=1
De aqui tenemos que A y C valen 0, mientras que B tiene un valor de y D vale .
por lo que tendriamos:
En la segunda fracción multiplicamos y dividimos por 2 para poder tener una transformada conocida:
Para el segundo término de nuestra ecuación original, tenemos una transformada que es conocida:
Para nuestro ultimo término, tenemos que multiplicar y dividir por 2 para generar una transformada conocida:
Y nuestra solución final es la siguiente: