Question

Sobre un cuerpo de 2 kg de masa actúa una fuerza que le produce una aceleración definida por la expresión:

a(t) = 3 - 10t

En la que t se expresa en segundos y a en m/s 2 . Sabiendo que, en el instante inicial, x o = 3 m, v o = 5 m/s . Calcule: a) la velocidad adquirida por el móvil y su posición al cabo de 5 segundos, b) la velocidad máxima que alcanza .

Answer 1

El cuerpo al ser sometido a la fuerza externa se posiciona a los 5 segundos en el punto x = -142.8 metros. A los 0.3 segundos alcanza su máxima velocidad igual a 5.45 metros por segundos.

Este es un caso en donde la aceleración varía en el tiempo, por lo que debemos trabajar con integrales y derivadas para obtener las variables solicitadas.

¿Cómo se determina la velocidad y la posición?

La velocidad se obtienen integrando en el tiempo a la aceleración, la posición con la integral de la velocidad.

• Velocidad del móvil:

Integrando la ecuación de aceleración:

                                    $v = \int\limits^a_b {v} \, dt+v_0\\ \\v = \int {(3-10t)} \, dt+5\\\\v=3t-5t^2+5$

La posición se obtiene integrando la velocidad:

                                    $x = \int {v} \, dt+x_0\\ \\x = \int{(3t-5t^2+5)} \, dt+3\\\\x = \frac{3}{2} t^2-\frac{5}{3} t^3+5t+3$

Sustituyendo t = 5

                                    $x = \frac{3}{2}\cdot 5^2-\frac{5}{3} \cdot5^3+5\cdot 5+3\\\\x=-142.8 \, m$

• Máxima velocidad alcanzada:

Primero determinamos el tiempo para el cual la velocidad es máxima, este se obtiene derivando la velocidad e igualando a cero:

                                    $\frac{dv}{dt}=a(t) = 0\\\\3-10t =0\\\\t = 0.3\, s$

Sustituimos el tiempo en la ecuación de velocidad:

                              $v(3)=3\cdot .3-5\cdot .3^2+5\\\\v(3)=5.45\, m/s$

La máxima velocidad alcanzada es 5.45 metros por segundos, ver figura.

Más problemas con la aceleración variable:

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