Question

Sobre un círculo de 25Π cm² de área trazamos un ángulo central de 90º. Calcula el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente

Answer 1

El enunciado completo dice lo siguiente:

Sobre un círculo de 25Π cm² de área trazamos un ángulo central de 90º. Calcula el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

El área del segmento circular mide 7, 13 cm²

Procedimiento:

En geometría se denomina segmento circular a la porción de un círculo delimitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Para hallar el segmento circular procedemos de la siguiente forma,

Primero debemos encontrar el área del sector circular que es la porción del círculo determinada por un ángulo central, quedando así el sector delimitado por un arco de circunferencia y dos radios.

En este caso en particular como el ángulo central dado es de 90° ese sector circular equivale a lo que se llama un cuadrante de círculo. Dónde su área mide un cuarto de círculo.

Hallamos el área del sector circular:

Cómo se observa en el diagrama del problema, el sector circular está delimitado por 2 radios = r y un arco de circunferencia, como ya mencionamos

El ángulo α es el ángulo que hay entre los dos radios del sector, llamado también amplitud del ángulo central al sector.

Emplearemos la Fórmula del sector circular para hallar su área,

$\boxed{\bold{ {A_{sector} = \frac{\pi . r^{2} .\alpha\° }{360\°} }}}$

$\boxed{\bold{ {A_{sector} = \frac{\pi . 5^{2} .90\° }{360\°} }}}$

$\boxed{\bold{ {A_{sector} = \frac{\pi .25 .90\° }{360\°} }}}$

$\boxed{\bold{ {A_{sector} = \frac{\pi .2250 }{360\°} }}}$

$\boxed{\bold{ {A_{sector} = 19,63}}}$

El área del sector circular es igual a 19, 63 cm²

Ahora vamos a hallar el área del triángulo que tiene de lados a los dos radios y a la cuerda,

Emplearemos la Fórmula del triángulo para hallar su área,

$\boxed {\bold {A_{triangulo} = \frac{b.h}{2}} }}$

$\boxed {\bold {A_{triangulo} = \frac{5.5}{2}} }}$

$\boxed {\bold {A_{triangulo} = \frac{25}{2}} }}$

$\boxed {\bold {A_{triangulo} = 12,5 }}$

El área del triángulo es de 12, 5 cm²

Finalmente para calcular la medida del área del segmento circular, lo que tenemos que hacer es tomar el área del sector circular y a esta restarle el área del triángulo,

$\boxed {\bold {A_{segmento} = 19,63-12,5 }}$

$\boxed {\bold {A_{segmento} = 7,13 }}$

El área del segmento circular mide 7, 13 cm²