Question

Sobre la pendiente de una colina de 20º de elevación se encuentra plantado un árbol de 3 [m] de altura.- La posición del sol en ese instante es 38º.
¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta el árbol?

Answer 1

La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 7.65 metros

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del árbol desde el pie de la ladera de la colina -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 38°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del árbol y el lado PS es el plano horizontal donde se asienta la base de la colina

Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:

El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo

Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la ladera de la colina -donde se ubica el árbol- la cual tiene una pendiente o ángulo de inclinación de 20°-respecto a la horizontal- y donde no conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud x de la sombra proyectada por el árbol - colina abajo-

Dado que lo que se pide hallar es la longitud de la sombra proyectada por el árbol sobre la ladera de la colina y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado QR que es la altura del árbol -que se encuentra sobre la colina- y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la colina en S hasta la cima del árbol. Y finalmente el lado SR que es la longitud x de la sombra proyectada por el árbol -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la ladera de la colina- la cual es nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ

Hallamos el valor del ángulo interno en S al que denotamos como α

Restando del ángulo de elevación al sol de 38° el ángulo de inclinación de la colina de 20°:

Teniendo:

$\boxed {\bold { \alpha =38^o -20^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 18^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al que denotamos como γ

El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ

Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 38°

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 38^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 38^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 52^o }}$

No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo

Calculamos la longitud x de la sombra proyectada por el árbol empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Arbol = 3 \ metros }$

$\bold{\overline {SR} = x= Sombra \ Del \ Arbol }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} \ x }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(18 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} \ x }{sen(52^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ 3 \ metros }{ sen(18 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} \ x }{sen(52^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{SR} \ x = \frac{ 3 \ metros \ . \ sen(52^o ) }{sen(18^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{SR} \ x = \frac{ 3 \ metros \ . \ 0.788010753607 }{ 0.309016994375 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{SR} \ x = \frac{ 2.364032260821 }{0.309016994375 }\ metros }}$

$\boxed { \bold { \overline{SR} \ x \approx 7.650169 \ metros }}$

$\textsf{ Redondeando}$

$\large\boxed { \bold { \overline{SR}\ x \approx 7.65\ metros }}$

La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 7.65 metros

Se adjunta gráfico de la situación para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas