Situación en la cual la velocidad media no coincide con la velocidad instantánea
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Se define la velocidad instantánea o simplemente velocidad como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada del vector de posición respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:
v→=limΔt→0v→m=limΔt→0Δr→Δ t=dr→dt
donde:
v→ : Vector velocidad instantánea. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo ( m/s )
v→m : Vector velocidad media. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por segundo ( m/s )
Δr− : Vector desplazamiento. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro ( m )
Δt : Intervalo de tiempo que tiende a 0, es decir, un intervalo infinitamente pequeño. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo ( s )
La velocidad es una magnitud vectorial. Su ecuación de dimensiones viene dada por [v]= [L][T]-1
¿Cómo se deduce la expresión de la velocidad instantánea?
Para definir el concepto de velocidad instantánea con precisión vamos a partir del concepto de velocidad media que hemos estudiado con anterioridad y vamos a ayudarnos de la gráfica de la figura.
deducción de la velocidad en un punto
El procedimiento para definir la velocidad instantánea o, simplemente, velocidad en un punto A consiste en calcular la velocidad media entre A y un punto lo más próximo posible a A. Esto se traduce en calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. En la gráfica puedes ver el vector de posición del punto A y del resto de puntos B, C y D. Estos son r→A , r→B , r→C y r→D respectivamente. Además está representado el vector desplazamiento entre A y cada uno de los puntos B, C y D. Estos son Δr→AB , Δr→AC y Δr→AD respectivamente. Como puedes ver en la gráfica anterior, a medida que el segundo punto es más próximo a A, el vector desplazamiento, se va haciendo tangente a la trayectoria y su módulo se aproxima al valor del espacio recorrido sobre la trayectoria.
Experimenta y Aprende
0123456789101112131415-1012345678910 – o + ← ↓ ↑ → finalinicialΔr⃗Δstrayectoria| Δr⃗ | = 12.02 mΔs = 14.2 mProximidad Desplazamiento y Espacio Recorrido
Proximidad del espacio recorrido y el desplazamiento
En la gráfica se muestra la trayectoria seguida por un móvil y su posición en dos instantes de tiempo.
Arrastra ambas posiciones y observa los valores del desplazamiento y del espacio recorrido.
¿Qué ocurre cuando están muy próximos? Que el espacio recorrido es prácticamente igual que el módulo del vector desplazamiento. En concreto, si el tiempo transcurrido entre las 2 posiciones tiende a 0, estas son exactamente iguales. Esta aproximación es la que se utiliza para calcular la velocidad en un instante.
Lo más común es que encuentres el vector velocidad escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:
vector velocidad en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:
v→=vxi→+vyj→+vzj→=(limΔt→0ΔxΔt)i→+(limΔt→0ΔyΔt)j→+(limΔt→0ΔzΔt)j→=dxdti→+dydtj→+dzdtj→
vector velocidad en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:
v→=vxi→+vyj→=(limΔt→0ΔxΔt)i→+(limΔt→0ΔyΔt)j→=dxdti→+dydtj→
También es posible que, al igual que cualquier otro vector, lo encuentres escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector velocidad por un vector unitario con la misma dirección y sentido que v→ y que llamaremos u→t por ser tangente a la trayectoria.
v→=v⋅u→t
Como puedes observar, la velocidad instantánea es una magnitud vectorial que cumple:
Su módulo se puede expresar:
En función del módulo del vector desplazamiento o en función del espacio recorrido:
∣∣v→∣∣=limΔt→0∣∣v→m∣∣=limΔt→0∣∣Δr→∣∣Δ t=limΔt→0ΔsΔ t
Cuando el vector velocidad se expresa mediante coordenadas cartesianas en 3 dimensiones:
∣∣v→∣∣=v2x+v2y+v2z−−−−−−−−−−√
Cuando el vector velocidad se expresa mediante coordenadas cartesianas en 2 dimensiones:
∣∣v→∣∣=v2x+v2y−−−−−−√
Su dirección es tangente a la trayectoria (la toca en un sólo punto).
Su sentido es el mismo que el del movimiento
Velocidad en función de componentes
Conclusión
En este apartado hemos definido el concepto de velocidad instantánea a partir de la velocidad media, hemos estudiado su módulo, su dirección y su sentido. Aunque hemos tratado distintos puntos de vista y distintas expresiones para el vector velocidad y su módulo, normalmente calcularás la velocidad como la derivada del vector posición respecto al tiempo.
Respuesta:
En el movimiento rectilineo uniformemente variado
Explicación: