Question

Situación 2
Se lanzan dos dados comunes y se anotan los resultados obtenidos en sus caras superiores. Calcula la probabilidad de que la suma de dichos puntajes sea:
a. Un número igual 5.
b. Un número mayor a 8.
c. Un número primo.
d. Un número compuesto.
e. Un número menor que 1.
f. Un número mayor o igual que 2.

Answer 1

El lanzamiento de dos dados se trata de un experimento aleatorio porque no se puede saber de  antemano cuál será la cara de los dados que saldrá al lanzarla, pero sí conocer todos los posibles resultados.

El espacio muestral de posibles resultados de este experimento está dado por:

Ω = {(1, 1), (1, 2),…, (2, 1), (2, 2),…, (6, 5), (6, 6)}

Donde se ha adjuntado en la figura TODOS los posibles valores para el lanzamiento de los dos dados, y en azul se ha colocado la suma de cada tupla.

Sabemos que n(Ω) = 36, es decir, hay 36 posibles resultados al lanzar dos dados. Tenga en cuenta que el primer dado puede salir de 6 formas distintas y el segundo también por tanto 6 × 6 = 36. (Vea detalles en la imagen adjunta)

a. Definamos el suceso A como el evento que ocurre cuando la suma de los puntajes  es 5. Observando el espacio muestral sabemos que esto solo ocurre para:

A = {(1,4), (4,1) (2,3),(3,2)}

Como vemos n(A) = 4 es decir, hay solo 4 posibles valores de lanzamiento de dados para los que A es favorable.

Calculamos entonces la probabilidad del suceso A por la regla de Laplace:

$P(A) = \dfrac{\text{No. de resultados favorables para el suceso A}}{\text{No. de resultados posibles}}\\\\P(A)= \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\\\\P(A)=\dfrac{4}{36}\\\\P(A)=\dfrac{1}{9}$

b. Definamos el suceso B como el evento que ocurre cuando la suma de los puntajes  es un número mayor a 8. Esto solo ocurre cuando:

B={(4,5),(5,4),(5,5),(6,3), (3,6), (6,4), (4,6), (5,6), (6,5),(6,6)}

Como vemos n(B) = 10 es decir, hay solo 10 posibles valores de lanzamiento de dados para los que B es favorable.

Calculamos entonces la probabilidad del suceso B por la regla de Laplace:

$P(B) = \dfrac{\text{No. de resultados favorables para el suceso B}}{\text{No. de resultados posibles}}\\\\P(B)= \dfrac{n(B)}{n(\Omega)}\\\\P(B)=\dfrac{10}{36}\\\\P(B)=\dfrac{5}{18}$

c. Definamos el suceso C como el evento que ocurre cuando la suma de los puntajes  es un número primo. Los únicos números primos del 2 al 12 son 2, 3, 5, 7, 11. Por tanto, mirando el archivo adjunto y contando para los casos en los que la suma (en azul) es 2, 3, 5, 7 y 11 tendremos n(C) = 15, es decir, hay solo 15 posibles valores de lanzamiento de dados para los que C es favorable.  Aplicando Laplace:

$P(C) = \dfrac{n(C)}{n(\Omega)} = \dfrac{15}{36}$

d. Definamos el suceso D como el evento que ocurre cuando la suma de los puntajes  es un número compuesto.Los únicos números compuestos del 2 al 12 son 4, 6, 8, 9, 10 y 12. Por tanto, mirando el archivo adjunto y  contando para los casos en los que la suma (en azul) es 4, 6, 8, 9, 10 y 12 tendremos n(D) = 21, es decir, hay solo 21 posibles valores de lanzamiento de dados para los que D es favorable.  Aplicando Laplace:

$P(D) = \dfrac{n(D)}{n(\Omega)} = \dfrac{21}{36}=\dfrac{7}{12}$

d. Definamos el suceso E como el evento que ocurre cuando la suma es un número menor que uno. Si miramos nuestro espacio muestral, se trata de un suceso imposible. No hay manera de que la suma de los puntajes de los dos dados de uno, por tanto P(E) = 0.

f.  Definamos el suceso F como el evento que ocurre cuando la suma de los puntajes  es mayor o igual que dos. Si observamos el espacio muestral, en TODOS los casos la suma de los dados es mayor o igual que dos. SE CUMPLE SIEMPRE, por lo que se trata de un evento seguro. Este tipo de eventos que SIEMPRE OCURREN tienen probabilidad P(F)= 1

Answer 2

Al lanzar el dado y anotar el resultado tenemos las probabilidades de que sea:

• a) Un número igual a 5:  0,1111
• b) Un número mayor que 8: 0,2778
• c) Un número primo: 0,4167
• d) Un número compuesto:  0,5833
• e) Un número menor que 1:  0
• f) Un número mayor o igual a 2: 1

La probabilidad de que un evento ocurra se calcula mediante la regla de Laplace y es igual a

P(A) = Casos favorables/casos totales

Los resultados posibles son 6*6 = 36 casos al lanzar los dados

a) Un número igual a 5: entonces los favorables casos son: (1,4) (2,3) (3,2) (4,1), la probabilidad es: P = 4/36 = 1/9 = 0,1111

b) Un número mayor que 8: entonces favorables casos son: (3,6) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5) (5,5) (6,3) (6,4) (6,5) y (6,6), para un total de 10 casos P = 10/36 = 5/18 = 0,2778

c) Un número primo: entonces los casos favorables son: (1,1) (1,2) (2,1) (1,4), (2,3) (3,2) (4,1) (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (5,6) (6,5), para un total de 15 casos:  15/36 = 5/12 = 0,4167

d) Un número compuesto: es el complemento de obtener un número primo: 1 - 0,4167 = 0,5833

e) Un número menor que 1: nunca ocurre siempre se obtiene un resultado mayor o igual a 2 entonces es 0

f) Un número mayor o igual a 2: siempre ocurre por lo que la probabilidad es 1

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