Question

Situación 2 En el siguiente gráfico se muestra un puente construido por una municipalidad sobre una estructura con formas parabólicas congruentes, que fueron evaluadas respecto a su resistencia sísmica. El punto (6; 0) es de tangencia y la ecuación de la parábola de la izquierda es x2 = −4y. A partir de la situación responde el siguiente reto • ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la derecha?

Answer 1

La ecuación de la parábola de la derecha es la siguiente:

$\boxed { \bold {( x \ - \ 12)^{2} \ = \ -4y}}$

Procedimiento:

El punto de tangencia (6,0) resulta ser el vértice de la parábola del centro

Luego podemos hallar los vértices de las parábolas de la izquierda y de la derecha dado que por enunciado sabemos que las tres formas parabólicas son congruentes

Siendo los vértices

Para la parábola de la izquierda

$\boxed {\bold { (0,0)}}$

Para la parábola de la derecha

$\boxed {\bold { (12,0)}}$

Donde nos hemos desplazado sobre el eje x 6 unidades a la izquierda y 6 unidades a la derecha respectivamente

Por enunciado sabemos que la ecuación de la parábola de la izquierda es:

$\boxed { \bold { x^{2} \ = \ -4y}}$

Donde su origen es en el vértice del eje de coordenadas

$\boxed {\bold { (0,0)}}$

Luego como conocemos por enunciado que las tres parábolas son congruentes

Por relación de curvas y traslación sobre el eje x - donde cuando se traslada -h se traslada h unidades a la derecha-

Por lo tanto la parábola de la derecha equivale a la traslación de la parábola de la izquierda 12 unidades hacia la derecha

Siendo la ecuación de la parábola de la derecha

$\boxed { \bold {( x \ - \ 12)^{2} \ = \ -4y}}$

Verificamos

Empleamos la ecuación para la parábola de la izquierda

$\boxed { \bold { x^{2} \ = \ -4py}}$

Donde

$\boxed { \bold { x^{2} \ = \ -4y}}$

Luego

$\boxed { \bold {- 4py \ = \ -4y}}$

Por tanto

$\boxed {\bold { p \ = \ 1}}$

Empleamos la ecuación para la parábola de la derecha:

$\boxed { \bold { ( x- h)^{2} \ = \ -4p \ (y - k) }}$

$\boxed { \bold { ( x- 12)^{2} \ = \ -4 \ . \ 1 \ (y - 0) }}$

$\boxed { \bold {( x \ - \ 12)^{2} \ = \ -4y}}$

Answer 2

La ecuación canónica de la parábola de la derecha es  (x  -  12)²  =  -12y.

Explicación:

Aplicaremos la ecuación canónica de una Parábola de eje vertical:  

(x  -  h)²  =  ±4p(y  -  k)

donde:

(h, k)  =  (0, 0)    son las coordenadas del vértice

p     es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz

Dado que la parábola de la izquierda tiene ecuación:

x²  =  -12y

Comparamos con la ecuación anterior y obtenemos:

h  =  0         k  =  0          

-4p  =  -12          ⇒         p  =  3

 

Las parábolas en el puente son congruentes, lo cual implica que la distancia  p  en todas ellas es la misma.

Se nos indica que el punto  (6, 0)  es de tangencia. Nos ubicamos en el sistema de coordenadas y observamos que la parábola que toca el eje  x  en el punto  (6, 0)  es la del centro, y lo hace precisamente en el vértice.

Ya que el vértice de la parábola de la izquierda se encuentra en el (0, 0) y el de la parábola del centro se encuentra a 6 unidades a la derecha de éste sobre el eje  x;  entonces el vértice de la parábola de la derecha debe estar a  6  unidades del vértice de la parábola del centro; es decir, en el punto (12, 0).

La parábola de la derecha tiene vértice en el punto  (12, 0), abre hacia abajo y tiene distancia  p  =  3.

Sustituyendo en la ecuación canónica:

(x  -  12)²  =  -4(3)(y  -  0)          ⇒         (x  -  12)²  =  -12y

La ecuación canónica de la parábola de la derecha es  (x  -  12)²  =  -12y.

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